一道n元均值不等式的经典问题多解

guanmo1

本题是n元均值不等式应用的简单例子，关于其多解？问题具体参看图片。

guanmo1

期待高手指教。

战巡

回复 2# guanmo1


不是柯西直接秒的节奏么

\[(\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1})(x_2+x_3+...+x_n+x_1)\ge (x_1+x_2+...+x_n)^2\]
\[\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n\]

realnumber

按3楼思路，左边先加上$x_1+x_2+\cdots+x_n$,
然后这样搭配$\frac{x_1^2}{x_2}+x_2 \ge 2x_1$,.....

guanmo1

回复 3# 战巡

问的不是这个，均值不等式也可以直接秒，关键是书上解后的点评提到的那些方法怎么操作？

力工

构造函数不就是二次方程有解配方么，与柯西不等式的证法一样啊。分离系数倒是不知所指。

guanmo1

回复 6# 力工


    是的，构造函数确实就是回到n元柯西不等式的证明了。

kuing

其实很多东西本身都是相通的，就如柯西不等式本身就可以用各种方法来证明，于是柯西能做的事，那些各种方法也就必然能做，换个写法而已，换言之本题至少可以搞出 配方法、数归法、向量法（或复数法）、构造二次函数（判别式法）、凸函数法（琴生不等式）、行列式法、概率法……