求证$OF\sslash BC$的充要条件是$A,O,C$三点共线

abababa

抛物线中$AB$是焦点弦，$O$是顶点，$C$在准线上，求证$OF\sslash BC$的充要条件是$A,O,C$三点共线
是不是能用平几方法做呢，我试了几下有点绕迷糊了

kuing

定理：梯形 $ABCD$ 中，$AB\px CD$，两腰 $AD$, $BC$ 上分别有点 $E$, $F$ 且 $AE:ED=BF:FC=AB:CD$，则 $AC$ 与 $EF$ 的交点 $G$ 为 $EF$ 中点。



证明：
\begin{align*}
\frac{GE}{CD}&=\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AE+ED}=\frac{AB}{AB+CD}, \\
\frac{GF}{AB}&=\frac{CF}{CB}=\frac{CF}{CF+FB}=\frac{CD}{CD+AB},
\end{align*}
故
\[ GE=GF=\frac{AB\cdot CD}{AB+CD}. \]

回到原题。

$OF\px BC \riff A$, $O$, $C$ 三点共线：由定理显然；

$A$, $O$, $C$ 三点共线 $\riff OF\px BC$：过 $B$ 作 $BC'$ 垂直于准线于 $C'$，由定理知 $A$, $O$, $C'$ 三点共线，从而 $C$ 和 $C'$ 重合。

Tesla35

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    收藏了。

kuing

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有木有发现这招也可以用来玩椭圆双曲线，当然此时那个 O 就不是顶点了……

abababa

谢谢，这样一看就明白了，我在比例式里绕来绕去自己都糊涂了，单独弄出来梯形就简明了