∏(a+1/b)的最大值

tommywong

$\displaystyle a,b,c,d\in[\frac{1}{2},2]$，$abcd=1$
求$\displaystyle (a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{d})(d+\frac{1}{a})$的最大值

kuing

有点意思。

设
\[P(a,b,c,d)=\left( a+\frac1b \right)\left( b+\frac1c \right)\left( c+\frac1d \right)\left( d+\frac1a \right),\]
前两项和后两项分别展开有
\begin{align*}
P(a,b,c,d)&=\left( ab+\frac ac+1+\frac1{bc} \right)\left( cd+\frac ca+1+\frac1{da} \right) \\
& =\left( a(b+d)+\frac ac+1 \right)\left( c(b+d)+\frac ca+1 \right),
\end{align*}
而如果是前后两项和中间两项分别展开，则也有
\[P(a,b,c,d)=\left( b(c+a)+\frac bd+1 \right)\left( d(c+a)+\frac db+1 \right),\]
由此可见 $P(a,b,c,d)\equiv P(b,a,d,c)$，所以我们可以不妨设 $ac\geqslant bd$，则 $ac\geqslant 1$。

由条件有
\[\frac12(2b-1)(2d-1)\geqslant 0\iff b+d\leqslant 2bd+\frac12=\frac2{ac}+\frac12,\]
故
\begin{align*}
P(a,b,c,d)&\leqslant \left( a\left( \frac2{ac}+\frac12 \right)+\frac ac+1 \right)\left( c\left( \frac2{ac}+\frac12 \right)+\frac ca+1 \right) \\
& =\frac{(a+2)^2(c+2)^2}{4ac} \\
& =\frac14\left( a+\frac4a+4 \right)\left( c+\frac4c+4 \right),
\end{align*}
由于函数 $x+4/x$ 在 $(0,2]$ 上递减且 $1/a\leqslant c\leqslant 2$，故
\[P(a,b,c,d)\leqslant \frac14(a+2)^2\left( \frac1a+2 \right)^2=\left( a+\frac1a+\frac52 \right)^2\leqslant 25,\]
又 $P(2,2,1/2,1/2)=25$，所以所求的最大值就是 $25$。

kuing

哇哦！继续展开下去，居然发现能一口气证完！

\begin{align*}
P(a,b,c,d)&=\left( ab+\frac ac+1+\frac1{bc} \right)\left( cd+\frac ca+1+\frac1{da} \right) \\
& =\left( a(b+d)+\frac{a+c}c \right)\left( c(b+d)+\frac{a+c}a \right) \\
& =ac(b+d)^2+2(a+c)(b+d)+\frac{(a+c)^2}{ac} \\
& =\frac{(b+d)^2}{bd}+\frac{2(a+c)(b+d)}{\sqrt{abcd}}+\frac{(a+c)^2}{ac} \\
& =\left( \frac{b+d}{\sqrt{bd}}+\frac{a+c}{\sqrt{ac}} \right)^2 \\
& =\left( \sqrt{\frac ac}+\sqrt{\frac ca}+\sqrt{\frac bd}+\sqrt{\frac db} \right)^2 \\
& \leqslant 25.
\end{align*}

[激动]

v6mm131

回复 3# kuing

so cool

kuing

回复 4# v6mm131

得到那个恒等式连我自己都意外……

goft

写个与kk类似的
$P(a,b,c,d)=(ab+1)(bc+1)(cd+1)(da+1)
=(ab+1)(cd+1)(bc+1)(da+1)=(2+ab+cd)(2+bc+da)
=(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2(\sqrt{bc}+\sqrt{da})^2
$
$令m=\sqrt{ab}，n=\sqrt{bc}$
则$P(a,b,c,d)=(m+\frac{1}{m})^2(n+\frac{1}{n})^2$
后同KK解法1

kuing

回复 6# goft

不错，我怎么没想到一开始去掉分式……

kuing

回复 6# goft

话说，其实到那里何必换元，直接乘进去也就同解法二了，而换元同解法一反而没看出来怎么同……