一道不等式

longzaifei

已知$a,b,c>0,abc=1 $,证明:\[ a^3+b^3+c^3+6\ge (a+b+c)^2 \]

kuing

由 $a+b+c\geqslant 3$ 可知只需证明更强式
\[a^3+b^3+c^3+6+\frac98\geqslant \frac98(a+b+c)^2.\]

记 $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$，则上式等价于
\[p(p^2-3q)+9+\frac98\geqslant \frac98p^2,\]
由 \schur 不等式有
\[q\leqslant \frac{9+p^3}{4p},\]
所以只需证
\[p\left(p^2-3\cdot\frac{9+p^3}{4p}\right)+9+\frac98\geqslant \frac98p^2,\]
因式分解等价于
\[\frac18(p-3)^2(2p+3)\geqslant 0,\]
显然成立，即得证。

longzaifei

谢谢kuing！！！

其妙

回复 2# kuing
加强了才更好证明吗？不加强能否证明？
还有点像某些数列不等式的数学归纳法证明，加强了证明易如反掌，不加强就极为难证（甚至证明不出来都是可能的），问题是怎么想到了那个加强呢？为什么要加强？

test

回复 4# 其妙

我刚开始写的过程就不是加强的，不过写完后发现如果加强为现在的形式，最后会出现 $(p-3)^2$，更加显然成立，所以干脆改写成加强式。

其妙

回复 5# test
哦，解题之中的反思，

test

回复 6# 其妙

其实你照着上面的方法将不加强的写一遍就会知道。

test

还可以写出更强的式，那就是右边再补上最后>=0的那个东西，于是过程就会变成使用 schur 后变成恒等式，不过这样的不等式不太好看，所以我没写

睡仙

也可以1的代换后展开配方