简单的初中几何综合题

isee

2015年海淀九年级期末第22题：







文字如下：

22．阅读下面材料：
       小明观察一个由 正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出 的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足 于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=_______________； =_______________；
                       
                    
图1                         图2                       图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：
       如图3，计算： =______________

kuing

题还是不错的，虽然废话还是略多了点，不过至少比那些无聊的抛物线+几何格硬扯起来的要好。

caijinzhi

题还是不错的，虽然废话还是略多了点，不过至少比那些无聊的抛物线+几何格硬扯起来的要好。 ...
kuing 发表于 2015-2-27 17:58

同意！

其妙

似乎做不来啊！

isee

解：（1）如下图所示，$CD$线段为所求
       

        （2）如下图所示

               
        连接$AC$，$DB$，则$AC \sslash DB$，由$\triangle AOC \sim \triangle BOD \Rightarrow OC=\dfrac 25DC=\dfrac 25 \sqrt {2^2+2^2}=\dfrac {4\sqrt 2}5$；
       
        进一步，可以得到$OF=\sqrt 2-\dfrac {4\sqrt 2}5=\dfrac {\sqrt 2}5$，在Rt$\triangle AOD$中，$\tan AOD=\dfrac {AF}{OF}=5.$
       

       
        （3）如下图所示，过$A$作与$BC$平行的直线交$CD$于$F$，容易证明$F$为$DE$中点。另一方面，可得$AE\perp CD$于$E$，且$E$为$CD$中点，这样在Rt$\triangle AEO$可以得到$\tan AOD =\dfrac 74$。
       

       
        这方法实在是过于迂回，理应是没有完全领悟到命题者的最佳方法……

kuing

回复 5# isee

也就关键在于算OC所占的比例，如果是我的话我就会延长到平行，毕竟数格子方便点，不过他那图太窄，不够地方延长。

isee

回复 6# kuing


本是同根生……


        跳出题目的限制，从另外的角度来看，对这个问题，可以从面积入手。
       
        以图3为例，由 Pick 定理：
        \[S_{四边形ADBC}=\dfrac 42+6-1=7.\]
       
        另一方面
        \[S_{四边形ADBC}=\dfrac 12AB\cdot CD\cdot \sin AOD=\frac 12 \sqrt {13}\cdot \sqrt {20}\cdot \sin AOD,\]
       
        从而
        \[\sqrt {65}\sin AOD=7,\]
       
        于是
        \[\Rightarrow \sin AOD=\dfrac 7{\sqrt {65}}\Rightarrow \tan AOD=\dfrac 74.\]
       
       
       



       
        不过，虽然 Pick 定理处理格点多边形的面积简洁有效，但还是知道的人不多。
       
        怕是看到这个图形，更多的人会想到建立直接坐标系。从而，变得极其的简单明了。
       
        点坐标全部知道，再由到角公式 $\tan \theta =\dfrac {k_2-k_1}{1+k_1k_2}$($k_i$对应直线$l_i$的斜率），这里就不详细写了。
       
       
       



               
        再次，如果从三角方面入手，也轻松。
       
        \[\tan AOD=\tan (180^\circ -C-B)=-\tan (B+C)=-\dfrac {\tan B+\tan C}{1-\tan B\cdot \tan C}=\dfrac 74.\]

kuing

回复 7# isee

我当然知道同根生，只不过更容易目测而已
Pick 定理我也不知道，嗯

Tesla35

回复 8# kuing


    因为你没搞过小学奥数。渣

kuing

回复 9# Tesla35

小学奥数太难，搞不起

isee

回复 9# Tesla35


   Pick 定理与小学奥数无半点关系，只不过，小学奥数里将这个内容作为一个知识点来用罢了。且在中高考里均有特效.

   Pick 定理 极为实用，被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.

kuing

回复 11# isee


查了下内容，又有点印象，不过由于从没用过，也不知道这名字了……

Tesla35

回复 11# isee

对啊。像我这种教正常体系的人很少知道这个。但是我司教小学奥数的几乎都知道这玩意。