来自人教群的二次型最值

kuing

鄂A教师楚天舒(8409*****)  18:23:10

\begin{align*}
OP^2&=x^2+y^2 \\
& =x^2+y^2+xy-\frac52x-2y+3-\frac54+\frac54 \\
& =\frac34(x-1)^2+\left( y+\frac x2-1 \right)^2+\frac54 \\
& \geqslant \frac54,
\end{align*}
当且仅当 $x=1$, $y=1/2$ 时取等。

kuing

@其妙，其他解法你来续吧，至少来四五种吧

isee

\begin{align*}
OP^2&=x^2+y^2 \\
& =x^2+y^2+xy-\frac52x-2y+3-\frac54+\frac54 \\
& =\frac34(x-1)^2+ ...
kuing 发表于 2015-3-3 18:47

这配方是你拿手好戏啊。

其妙

@其妙，其他解法你来续吧，至少来四五种吧
kuing 发表于 2015-3-3 18:48

，来晚了，这个好方法都被你先用了，剩下的方法都不好了！

其妙

@其妙，其他解法你来续吧，至少来四五种吧
kuing 发表于 2015-3-3 18:48

好嘛！把你的方法改造一下：，来一种方法先“交差”：
\begin{align*}
x^2+y^2&=x^2+y^2+xy-\dfrac52x-2y+3\\
&=(\dfrac34x^2+\dfrac34)+(\dfrac14x^2+y^2+xy-\dfrac52x-2y+\dfrac94)\\
&\geqslant\dfrac32x+(\dfrac14x^2+y^2+xy-\dfrac52x-2y+\dfrac94)\\
&=\dfrac14x^2+y^2+xy-x-2y+\dfrac94\\
&=(\dfrac12x+y)^2+1-(x+2y)+\dfrac54\\
&\geqslant x+2y-(x+2y)+\dfrac54\\
&=\dfrac54
\end{align*}
取等号略。

其妙

\begin{align*}
OP^2&=x^2+y^2 \\
& =x^2+y^2+xy-\frac52x-2y+3 \\
& =\frac34(y-\dfrac12)^2+\left( x+\frac y2-\frac54 \right)^2+\frac54 \\
& \geqslant \frac54,
\end{align*}

kuing

，来晚了，这个好方法都被你先用了，剩下的方法都不好了！
其妙 发表于 2015-3-4 21:21

常规的方法也不差啊，比如说，将条件变成 $(x-2)(y-5/2)=2$，则可令 $x=2+t$, $y=5/2+2/t$，故
\[OP^2=(2+t)^2+\left(\frac52+\frac2t\right)^2=f(t),\]
然后求导就可以做了，这就比较常规。
当然如果已经知道或者猜到结果了，也不难配方为
\[f(t)=\left(t+\frac1t+2\right)^2+3\left(\frac1t+1\right)^2+\frac54.\]

isee

回复 5# 其妙

变魔术一般

isee

回复 7# kuing


    不换元的话，消$y$，求导后是4次，利用因式定理，知道导函数一个零点是1，从而也就猜到答案了。

isee

不考虑不等式变换的话，由$(x-2)(y-5/2)=2$，平移一下（+旋转）变成（标准的）双曲线，会不会好做些？

其妙

回复 7# kuing

其妙

回复  kuing


    不换元的话，消$y$，求导后是4次，利用因式定理，知道导函数一个零点是1，从而也就猜到 ...
isee 发表于 2015-3-5 10:04

其妙

在这儿还看见了文科版的题目：
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vdrx.html

kuing

回复  kuing

不换元的话，消$y$，求导后是4次，利用因式定理，知道导函数一个零点是1，从而也就猜到 ...
isee 发表于 2015-3-5 10:04

换元只是为了让分母好看些，其实只差个常数，自然是没什么分别的。