来自某教师群的立几题

kuing

深圳朱(5295*****)  15:40:31

请教该题怎么做，谢谢！

没想到高中立几也出得这么吓人。

由 $PA=PB=PC$ 可得 $HA=HB=HC$，即 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，可见 $P$, $O$, $H$ 共线，作出图形，如图所示。



由于 $\vv{AO}$, $\vv{HP}$ 均为平面 $APH$ 上的向量，故由条件知 $\lambda \vv{AB}+\mu\vv{AC}$ 也应与平面 $APH$ 平行，由此可见 $\lambda \vv{AB}+\mu\vv{AC}$ 必与 $\vv{AH}$ 共线，可设
\[\lambda \vv{AB}+\mu\vv{AC}=x\vv{AH},\]
再设
\[\vv{HP}=y\vv{HO},\]
代入已知等式中得
\[\vv{AO}=x\vv{AH}+\frac y{1+\sqrt5}\vv{HO},\]
而 $\vv{AO}=\vv{AH}+\vv{HO}$，故由向量分解的唯一性知 $x=1$, $y=1+\sqrt5$，即
\[\led
&\lambda\vv{AB}+\mu\vv{AC}=\vv{AH},\\
&\vv{HP}=\bigl(1+\sqrt5\bigr)\vv{HO},
\endled\]
再由 $2\lambda+\mu=1$ 可知直线 $CH$ 经过 $AB$ 的中点，而 $H$ 为 $\triangle ABC$ 外心，由此可见 $CA=CB$，于是由 $AB=8$, $AC=6$ 易得 $AH=9/\sqrt5$。

设外接球半径为 $R$，由 $\vv{HP}=\bigl(1+\sqrt5\bigr)\vv{HO}$ 得 $OH=R/\sqrt5$，故
\[OA^2-OH^2=R^2-\left(\frac R{\sqrt5}\right)^2=AH^2=\frac{81}5,\]
解得
\[R=\frac92,\]
故球 $O$ 的表面积为
\[4\pi R^2=81\pi.\]

第一章

[img]

kuing

回复 2# 第一章

你看错条件了，是 $\mu+2\lambda=1$

第一章

尼玛，好好的字母为什么要换位置？

kuing

回复 4# 第一章

也许就是打反了，不过没关系，反正由对称性，方法是一样的，不过后面的数据会有点儿不同

其妙

都喜欢用三点共线系数和为1的结论，实际上用消元法也不错（只需2步就把三点共线系数和为1的结论证明完毕），

kuing

回复 6# 其妙

写出来吧

其妙

回复 7# kuing
就和你们的结果完全一样啦！？