数列一题

realnumber

已知数列{$a_n$},$a_1=a,a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$,若当$n\ge4$时，恒有$\frac{3}{2}\le a_n\le2$成立，那么
a的取值范围是___________.

realnumber

解得有些繁杂,$a_{n+1}a_n=a_n+1$,令$b_n+t=a_n$
得到$(b_{n+1}+t)(b_n+t)=b_n+t+1$,展开后,令$t^2=t+1$
可得$b_{n+1}b_n+tb_{n+1}+{(t-1)}b_n=0$,即$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{t}{1-t}\frac{1}{b_n}+\frac{1}{1-t}$
再令$c_n=\frac{1}{b_n}$,即$c_{n+1}=\frac{t}{1-t}c_n+\frac{1}{1-t}$,(通过待定系数法)变形为$c_{n+1}+\frac{1}{2t-1}=\frac{t}{1-t}{c_{n}+\frac{1}{2t-1}}$
令$c_n+\frac{1}{2t-1}=d_n$,得到$d_{n+1}=\frac{t}{1-t}d_n$,{$d_n$}为等比数列.


---不算下去了,有没不简便点的办法,似乎关于连分数,但不太懂那些.

realnumber

$a_4$符合，a>0
那么其他依次都会符合，数学归纳法可以证明，2楼办法想复杂了

kuing

原题确实只要像楼上这样做就行。
不过如果想求通项的话，可以像下面这样玩。

令 $a_n=b_{n+1}/b_n$ 且 $b_1=1$，则 $b_2=a_1$，那么
\[a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n} \iff \frac{b_{n+2}}{b_{n+1}} = 1+\frac{b_n}{b_{n+1}} \iff b_{n+2}=b_{n+1}+b_n,\]
我们记肥婆拉鸡数列 $\{1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots \}$ 的通项为 $F_n$（注意这里与习惯上说的那个通项平移了两个位置），则可得
\[b_n=F_n+F_{n+1}a_1,\]
所以
\[a_n=\frac{b_{n+1}}{b_n}
=\frac{F_{n+1}+F_{n+2}a_1}{F_{n}+F_{n+1}a_1}.\]

isee

肥婆拉鸡数列

kuing

回复 5# isee

主要是那个 qi 字总是不记得怎么写

青青子衿

回复 6# kuing

肥婆拉鸡数列
isee 发表于 2015-3-20 21:08

实际上可以不用输入完，就可以得到结果！
Fibonacci
斐波那契，原名“比萨的列奥纳多”。
列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即“好、自然”或“简单”）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契（Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。

kuing

回复 7# 青青子衿

五笔党路过……