立体几何，最值问题

lrh2006

在一块长方体ABCD-A1B1C1D1木料中，已知AB=BC=2，AA1=1，设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A1，F,C的截面面积的最小值为？

乌贼

如图：当$ \angle APF=90\du  $时，$ PF $为公垂线，此时$ \triangle FA_1C $面积最小。
令$ AF=a $，有
\[ A_1F^2=A_1P^2+PF^2 \]
\[ A_1A^2+AF^2=AM^2+PM^2+PN^2+FN^2 \]
\[ 1+a^2=2a^2+\dfrac{a^2}{4} +a^2+(1-\dfrac{a}{2})^2\]
解得
$ a=\dfrac{2}{5} $或$ a=0 $（舍去）
故$ FP=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
$ \triangle A_1FC $面积最小值为$ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} $

乌贼

上不了图

lrh2006

回复 3# 乌贼


    答案是6根号5/5,截面是平行四边形吧。乘以2就好了

luren8asdf

用坐标法也可以，无脑计算即可

lrh2006

回复 5# luren8asdf


怎么弄？求指点，谢谢！

其妙

也来一道立体几何最值问题：

乌贼

回复 7# 其妙
$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$到$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

乌贼

回复 7# 其妙
改一改
  正四面体$ABCD$中，$M$是$AB$上的点，且$2AM=MB$，$N$是$CD$上的动点，若直线$MN$与$BD$所成的角为$a$，则$\cos a$的取值范围是

其妙

回复 8# 乌贼
过程？好酒不见了，乌贼！

乌贼

回复 10# 其妙
如图：取$AD$中点$P$，$MD$中点$Q$，连接$MP,PQ$，则$\angle PMD=\angle a$。以$MP$为直径作一球，平面$MGD$截球所得小圆就是在平面$MGD$内以$MQ$为直径的圆，直线$MN$交圆于$K$。有$\angle PKM=90^\circ$，有$\cos a=\dfrac{MK}{MP}$……

其妙

回复 11# 乌贼
，还能作球呀！我以为你要用代数方法呢！