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kuing
Post time 2015-5-30 23:00
令 $A=(\pi -D)/2$, $B=(\pi -E)/2$, $C=(\pi -F)/2$，则由 $\triangle ABC$ 为锐角三角形知 $D$, $E$, $F$ 能构成任意三角形的三个内角，于是
\begin{align*}
\frac{\cos B\cos C}{\cos(B-C)\sin^2A}&=\frac{\sin\frac E2\sin\frac F2}{\cos\frac{F-E}2\cos^2\frac D2} \\
& =\frac{\tan\frac E2\tan\frac F2}{1+\tan\frac E2\tan\frac F2}\left( \tan^2\frac D2+1 \right) \\
& =\frac{\tan\frac E2\tan\frac F2}{1+\tan\frac E2\tan\frac F2}\left( \tan\frac D2+\tan\frac E2 \right)\left( \tan\frac D2+\tan\frac F2 \right),
\end{align*}
令 $x=\tan(E/2)\tan(F/2)$, $y=\tan(F/2)\tan(D/2)$, $z=\tan(D/2)\tan(E/2)$，则 $x$, $y$, $z>0$, $x+y+z=1$，故
\begin{align*}
\sum\frac{\cos B\cos C}{\cos(B-C)\sin^2A}&=\sum\frac{(x+y)(z+x)}{1+x} \\
& \leqslant \frac14\sum\frac{(2x+y+z)^2}{1+x} \\
& =\frac14\sum(1+x) \\
& =1.
\end{align*} |
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