来自人教论坛的两圆相切将错就错

kuing

原贴链接：bbs.pep.com.cn/thread-3119418-1-1.html

既然如此，何不将错就错，将问题改为：求正方形边长的取值范围。

如图，$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 内切于点 $P$，正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$, $B$ 在 $\odot O_2$ 上，线段 $CD$ 与 $\odot O_1$ 相切于点 $N$。若 $\odot O_1$ 的直径为 $r$，$\odot O_2$ 的半径为 $R$（$R>r$），求正方形 $ABCD$ 边长的取值范围。


解：
如图，取 $AB$ 中点 $E$，作 $O_1M\perp O_2E$ 于 $M$。

设正方形 $ABCD$ 边长为 $2x$，则 $ME=r+2x$, $O_2E=\sqrt{R^2-x^2}$，所以
\[O_2M=r+2x-\sqrt{R^2-x^2},\]
显然 $O_2M$ 为关于 $x$ 的增函数，所以 $O_2M$ 最大时正方形边长最大，$O_2M$ 最小时正方形边长最小。

显然 $O_2M$ 最大是 $M$ 与 $O_1$ 重合时，此时 $O_2M=R-r$，代入解得
\[2x=\frac45\bigl(R-2r+\sqrt{R^2+Rr-r^2}\bigr),\]
这就是正方形边长的最大值；

而 $O_2M$ 最小即 $O_1M$ 最大时，注意到要相切，$O_1M$ 最大时为切点 $N$ 与 $C$ 重合时，此时 $O_2M=\sqrt{(R-r)^2-x^2}$，即
\[r+2x-\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{(R-r)^2-x^2},\]
通过平方移项再平方整理可得
\[8x^3+12rx^2+(-4R^2+4Rr+5r^2)x+4Rr(r-R)=0,\]
可以证明此方程有且只有一个正数根，此正数根就是 $x$ 的最小值，它的两倍就是正方形边长的最小值。

其妙

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又是一个三次方程！

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