小球依次撞击正n边形的每条边，求发射角度的范围

abababa

正$n$边形$A_1A_2A_3\cdots A_n$的边$A_1A_2$上的中点$P$处有一小球，以角度$\theta$出发撞击边$A_2A_3$，反射后撞击$A_3A_4$，依次下去，最后撞击边$A_1A_2$，求$\theta$的范围

kuing

不断反射就行了吧，以正五边形为例，如图

然后就计算吧……应该不难，就看怎么计算会简单点……

kuing

不妨设正 $n$ 边形的边长为 $2$，将其放在坐标系中，使 $A_1(-1,0)$, $A_2(1,0)$，其余顶点均在 $x$ 轴的上方，则经 $n-1$ 次那样的反射后，最后那条边的中点坐标为
\[\left( n+n\cos\frac{2\pi}n, n\sin\frac{2\pi}n \right).\]

（1）当 $n$ 为奇数，则最后那条边的两个端点坐标分别为
\[\left( n+(n-1)\cos\frac{2\pi}n, (n-1)\sin\frac{2\pi}n \right), \left( n+(n+1)\cos\frac{2\pi}n, (n+1)\sin\frac{2\pi}n \right),\]
所以此时发射的角度范围为
\[\left[ \arctan\frac{(n-1)\sin\frac{2\pi}n}{n+(n-1)\cos\frac{2\pi}n}, \arctan\frac{(n+1)\sin\frac{2\pi}n}{n+(n+1)\cos\frac{2\pi}n} \right];\]

（2）当 $n$ 为偶数，则最后那条边的两个端点坐标分别为
\[\left( n-1+n\cos\frac{2\pi}n, n\sin\frac{2\pi}n \right), \left( n+1+n\cos\frac{2\pi}n, n\sin\frac{2\pi}n \right),\]
所以此时发射的角度范围为
\[\left[ \arctan\frac{n\sin\frac{2\pi}n}{n+1+n\cos\frac{2\pi}n}, \arctan\frac{n\sin\frac{2\pi}n}{n-1+n\cos\frac{2\pi}n} \right].\]

素不素酱紫……

青青子衿

回复 1# abababa

《斯坦因豪斯问题:从1道25省市自治区中学数学竞赛试题谈起》

乌贼

与这贴相似
  bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2535174&extr ... 26orderby%3Ddateline
  就是二楼的方法

kuing

回复 4# 青青子衿

不会吧，那公式对 n=3 都似乎不符合啊

abababa

回复 3# kuing

方法理解了，计算最后撞击的边的端点坐标还是没看懂怎么算的

kuing

回复 7# abababa

$A_1A_2$ 的中点为原点，$A_2A_3$ 的中点 $(1+\cos\frac{2\pi}n,\sin\frac{2\pi}n)$，因为反射出来的那些中点都共线，所以最后那边的中点就是 $(n+n\cos\frac{2\pi}n,n\sin\frac{2\pi}n)$。
然后当奇数边时最后那边与 $A_2A_3$ 平行，所以两端就是中点分别加减向量 $(\cos\frac{2\pi}n,\sin\frac{2\pi}n)$；当偶数边时最后是水平的，所以横坐标分别加减$1$。

abababa

回复 8# kuing
谢谢，这下理解了。

其妙

回复 3# kuing

caijinzhi

厉害！

其妙

回复 11# caijinzhi
图也画的蛮棒的！