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kuing
Post time 2015-8-13 20:43
看来也没人鸟，还是自娱自乐吧，其实也不难……
等价于证
\[x_2x_3\cdots x_n\sqrt{1-x_1}+x_3x_4\cdots x_1\sqrt{1-x_2}+\cdots +x_1x_2\cdots x_{n-1}\sqrt{1-x_n}<\sqrt{\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-2}}},\]
由 $x_i\in(0,1)$，只需证更强式
\[\sqrt{x_2x_3\cdots x_n(1-x_1)}+\sqrt{x_3x_4\cdots x_1(1-x_2)}+\cdots +\sqrt{x_1x_2\cdots x_{n-1}(1-x_n)}\leqslant \sqrt{\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-2}}},\]
记
\begin{align*}
P&=x_1+x_2+\cdots +x_n, \\
Q&=x_2x_3\cdots x_n+x_3x_4\cdots x_1+\cdots +x_1x_2\cdots x_{n-1},
\end{align*}
则由马克劳林不等式有
\[Q\leqslant \frac{P^{n-1}}{n^{n-2}},\]
由此，由柯西不等式及均值不等式有
\begin{align*}
& \sqrt{x_2x_3\cdots x_n(1-x_1)}+\sqrt{x_3x_4\cdots x_1(1-x_2)}+\cdots +\sqrt{x_1x_2\cdots x_{n-1}(1-x_n)} \\
\leqslant{}& \sqrt{Q(n-P)} \\
\leqslant{}& \sqrt{\frac{P^{n-1}}{n^{n-2}}(n-P)} \\
={}& \sqrt{\frac1{n^{n-2}(n-1)}P^{n-1}(n-1)(n-P)} \\
\leqslant{}& \sqrt{\frac1{n^{n-2}(n-1)}\left( \frac{(n-1)P+(n-1)(n-P)}n \right)^n} \\
={}& \sqrt{\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-2}}}.
\end{align*}
注：这如无意外还不是最佳系数，如果要研究最佳系数恐怕要出动半凹半凸定理之类的东西，可能会比较复杂，
有空待续…… |
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