in R

成龙之龙

a,b,c in R,prove that:
$a^4(b-c)^2+b^4(c-a)^2+c^4(a-b)^2 \geq \frac{1}{2}(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2.$

kuing

似曾相识，出处是哪里？

kuing

比想象中简单，看来出处也没所谓了

由对称性，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则
\begin{align*}
a^4(b-c)^2+c^4(a-b)^2 &\geqslant \frac12\bigl(a^2(b-c)+c^2(a-b)\bigr)^2 \\
& =\frac12(a-c)^2(ab+bc-ca)^2 \\
& =\frac12(a-c)^2\bigl(b^2+(a-b)(b-c)\bigr)^2 \\
& \geqslant \frac12(a-c)^2(a-b)^2(b-c)^2,
\end{align*}
即得证，当 $a=b=c$ 或 $b=a+c=0$ 及其轮换时取等。

成龙之龙

其妙

居然少一个加数也可以

kuing

回复 5# 其妙

但是要先设顺序才能拿掉相应的那个

isee

好逆天的证明，更逆天的题，这TND一个比一个狠。。。。。。。。

色k

好逆天的证明，更逆天的题，这TND一个比一个狠。。。。。。。。
isee 发表于 2015-8-29 16:53

一个比一个狠？是指楼主发的几个题？