高次不等式

成龙之龙

a,b,c>0, prove: $\displaystyle \frac{a^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{b^3}{2c^2-ca+2a^2}+\frac{c^3}{2a^2-ab+2b^2}\ge\frac{a^5+b^5+c^5}{a^4+b^4+c^4}.$

kuing

常规柯西+schur

由CS有
\[\sum\frac{a^3}{2b^2-bc+2c^2}=\sum\frac{(a^5)^2}{a^7(2b^2-bc+2c^2)}
\geqslant \frac{(a^5+b^5+c^5)^2}{\sum a^7(2b^2-bc+2c^2)},\]
故只需证
\[(a^5+b^5+c^5)(a^4+b^4+c^4)\geqslant \sum a^7(2b^2-bc+2c^2),\]
展开即
\[\sum a^9+\sum a^5b^4+\sum a^4b^5+abc\sum a^6\geqslant 2\sum a^7b^2+2\sum a^2b^7,\]
由 \schur 不等式 $\sum a^7(a-b)(a-c)\geqslant 0$ 得到
\[\sum a^9+abc\sum a^6\geqslant \sum a^8b+\sum ab^8,\]
故只需证
\[\sum a^8b+\sum ab^8+\sum a^5b^4+\sum a^4b^5\geqslant 2\sum a^7b^2+2\sum a^2b^7,\]
注意到
\[a^8b+ab^8+a^5b^4+a^4b^5-2(a^7b^2+a^2b^7)
=ab(a+b)(a^2+ab+b^2)(a-b)^4\geqslant 0,\]
所以原不等式得证。

运气还算好……

其妙

如此神勇的schur

kuing

回复 3# 其妙

运气运气……
我用软件试验过，右边改成 $\sum a^6/\sum a^5$ 都是成立的，但用同样的方法去证就失效了，有待研究。

成龙之龙

hao