2015年 击倒中国奥数队的几何题应该怎么解

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“在锐角三角形ABC中，AB>AC.设Γ是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足.M是边BC的中点.Q是Γ上一点，使得∠HQA=90°，K是Γ上一点，使得∠HKQ=90°.已知点A,B,C,K,Q互不相同，且按此顺序排列在Γ上.

证明：三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.”

乌贼

链接：zhihu.com/question/33072773    看不懂1
法一：证明图中$ \angle GKF=\angle GFK=\angle DKF $即$ GDK $三点共线即可
如图：
    $ G $为$ \triangle MFK $外接圆圆心，$ AF $交圆$ O $于$ E $，$ D $为$ HQ $中点（即为$ \triangle HKQ $外接圆圆心），$ BC $交$ \triangle EFK $外接圆与$ P $.。
第一步：证明$ MHQ $三点共线（略）
第二步：证明$ MHKP $四点共圆
    由$ EFKP $四点共圆，$ BP $为$ EH $垂直平分线。有
\[  \edr\angle AEK+\angle FKE=&\angle AFK=\angle EPK\\\angle EKF=&\angle EPF \\\angle EPF=&\angle HPF\endedr\riff \angle FPK=\angle AEK=\angle ACK=180\du-\angle AQK=90\du -\angle KQH=\angle KHQ \]得$ MHKP $四点共圆
第三步：看图知\[  \angle GKF=\angle GFK=\angle DKF=\angle 1+\angle 2+\angle 3 \]
法二：证明图中$ DK $为两相切圆的公切线即可（受链接启发）
    如图：
如图：
    $ AN $为圆$ O $的直径，$ D $为$ HQ $的中点（即为$ \triangle HKQ $外接圆圆心），$ AF $交圆$ O $于$ E $，$ P $为$ NE $与$ QK $交点，$ HP $交$ FC $（或其延长线）于$ G $。
第一步：证明$ QHMN $四点共线（略）
第二步：证明$ HP\perp NQ $
     由 $ AN $为圆$ O $的直径得\[ \angle HEP=\angle HKP \]即$ HEPK $四点共圆，有\[ \angle QNE+\angle EPH=\angle EKP+\angle EKH=90\du \riff\angle PHN=90\du \riff HP\perp NQ \]
第三步：证明$ GK $为公切线
      易证$ HF=EF $，由\[ NE\px BC\riff HG=KG=PG\riff\triangle DHG\cong \triangle DKG\riff\angle DKG=90\du \]又\[ \triangle GHF\sim \triangle GMH\riff GK^2=GH^2=GF\cdot GM \]由圆切割线定理知$ GK $即为$ \triangle MFK $外接圆切线
   综上$ GK $均为$ \triangle MFK $及$ \triangle HQK $两外接圆的公切线。