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最近都在翻阅旧帖，时常有新发现。
话说刚才看到2009年底的这帖：
bbs.pep.com.cn/thread-527824-1-1.html
帖中8楼网友天涯无际提出：$a$, $b$, $c>0$, $a^{4019}+b^{4019}+c^{4019}=3$，证明
\[\frac{a^{2010}}{b^{2009}}+\frac{b^{2010}}{c^{2009}} +\frac{c^{2010}}{a^{2009}}\geqslant 3.\]
看着挺吓人，不过思考了下，其实也不是很难。
下面证明：$a$, $b$, $c>0$, $k>0$, $a^{2k+1}+b^{2k+1}+c^{2k+1}=3$，则有
\[\frac{a^{k+1}}{b^k}+\frac{b^{k+1}}{c^k}+\frac{c^{k+1}}{a^k}\geqslant 3.\]
设正数 $t$ 满足 $2k+1=2kt$，令 $x=a^{kt}$, $y=b^{kt}$, $z=c^{kt}$，则条件化为 $x$, $y$, $z>0$, $x^2+y^2+z^2=3$，而
\[\frac{a^{k+1}}{b^k}=\frac{a^{2k+1}}{\sqrt[t]{a^{kt}b^{kt}}}
=\frac{x^2}{\sqrt[t]{xy}},\]
因此原不等式等价于
\[\frac{x^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{xy}} +\frac{y^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{yz}} +\frac{z^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{zx}}\geqslant 1,\]
因为 $1/\sqrt[t]{x}$ 为下凸函数，于是由琴生不等式及 Vasc 不等式，即得
\[\frac{x^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{xy}} +\frac{y^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{yz}} +\frac{z^2}3\cdot\frac1{\sqrt[t]{zx}}
\geqslant \frac1{\sqrt[t]{\frac13x^3y+\frac13y^3z+\frac13z^3x}}
\geqslant \frac1{\sqrt[t]{\frac19(x^2+y^2+z^2)^2}}
=1,\]
所以原不等式得证。 |
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