二元最值

hjfmhh

kuing

等价于求圆 $x^2+(y-6)^2=2$ 上的点与椭圆 $x^2+10y^2=10$ 上的点的最大距离的平方，记圆的圆心为 $A(0,6)$，圆的半径 $r=\sqrt2$，设 $B(x,y)$ 在椭圆上，那么所求的值就是 $(AB_{\max}+r)^2$，而
\[AB^2=x^2+(y-6)^2=10-10y^2+(y-6)^2=50-(3y+2)^2,\]
当 $B$ 的纵坐标为 $-2/3$ 时 $AB_{\max}=5\sqrt2$，所以
\[(AB_{\max}+r)^2=\bigl(5\sqrt2+\sqrt2\bigr)^2=72,\]
即为所求。

kuing

当然了，如果你不想看文字，或者你是外国网友，那就请看下面的过程，注意千万不要把它当成“解法二”，这只是楼上解法的翻版。
\begin{align*}
& \sqrt{\bigl(\sqrt2\cos a-\sqrt{10}\cos b\bigr)^2+\bigl(\sqrt2\sin a+6-\sin b\bigr)^2} \\
\leqslant {}& \sqrt{\bigl(\sqrt2\cos a\bigr)^2+\bigl(\sqrt2\sin a\bigr)^2}+\sqrt{\bigl(\sqrt{10}\cos b\bigr)^2+(6-\sin b)^2} \\
={}& \sqrt2+\sqrt{50-(3\sin b+2)^2} \\
\leqslant {}& 6\sqrt2,
\end{align*}
故
\[\bigl(\sqrt2\cos a-\sqrt{10}\cos b\bigr)^2+\bigl(\sqrt2\sin a+6-\sin b\bigr)^2\leqslant 72,\]
取等略。

nijupeng

圆心到椭圆上点的连线垂直于椭圆上这点的切线