无理函数的最值

hjfmhh

kuing

几何意义呗
设 $P$ 在 $y=x^2$（$0<x<3/2$）上，$A(3/2,9/4)$，则 $f(x)=OP+PA$。

显然 $OP+PA>OA$，当 $P$ 趋向 $O$ 或 $A$ 时 $OP+PA\to OA$，所以 $f(x)$ 的下确界就是 $OA=3\sqrt{13}/4$。

由速度分解（如果不理解速度分解，也可以想想椭圆及其光学性质）可知，当 $OP+PA$ 取最大值时必为 $P$ 处的切线与 $PO$, $PA$ 夹角相同时，故此由夹角公式有
\[
\frac{k_{PA}-k_P}{1+k_{PA}\cdot k_P}=\frac{k_P-k_{PO}}{1+k_P\cdot k_{PO}},
\]
其中 $k_P$ 为 $P$ 处的切线斜率，即 $2x$，又 $k_{OP}=x$, $k_{PA}=(x^2-9/4)/(x-3/2)=x+3/2$，代入上式后解得 $x=1/2$，所以最大值就是 $f(1/2)=5\sqrt5/4$。

敬畏数学

最大值就在与OA平行的直线且与抛物线相切处取得。如何证明啊？

kuing

最大值就在与OA平行的直线且与抛物线相切处取得。如何证明啊？
敬畏数学 发表于 2015-10-29 16:13

我没这样说过，请看清我的原话。

敬畏数学

回复 4# kuing
OK。当 OP+PA 取最大值时必为 P 处的切线与 PO, PA 夹角相同，这个能给出简单的说明吗？光学性质？

kuing

回复 5# 敬畏数学

用光学性质来解释的话，如图所示：



就这么简单，如果都理解不了，那我就无能为力了

敬畏数学

很好。以O,A为焦点的椭圆与抛物线公共点M.N（位于抛物线的弧OA部分），过M作椭圆的切线MT，若MT与抛物线相交于Q点，显然Q点在椭圆外面，QO+QA>MO+MA,只当MT也与抛物线相切即可。即MT是椭圆与抛物线在M处的公共切线即为最大。