|
|
粤A学生呆呆(1120446986) 13:17:01
有个棘手的题
到处都冷场，还是来写写这个简单题吧……玩伸缩，几乎零计算量。
试卷上的图配错了，是射线 $PO$ 交……，所以 $Q$ 应该在另一边，如下图。
易知椭圆 $C$, $E$ 分别为 $x^2/4+y^2=1$, $x^2/16+y^2/4=1$，相似比为 $1:2$，故 $PQ=3OP$，所以 $\S{ABQ}=3\S{ABO}$，这时 $PQ$ 这条线可以扔掉了。
现在，沿 $x$ 轴方向对图形作“伸缩变换”$x\to x/2$，该变换使两椭圆被压缩成两同心圆，半径分别为 $1$ 和 $2$，而 $\S{ABO}$ 则变为原来的一半。
设原点到 $AB$ 的距离为 $d$，则 $AB=2\sqrt{4-d^2}$，故
\[\S{ABO}=\frac12d\cdot AB=\sqrt{d^2(4-d^2)},\]
由于 $d\leqslant OP=1$，所以当 $d=1$ 时 $\S{ABO}$ 取最大值 $\sqrt3$，所以变换前的 $\S{ABO}$ 最大值为 $2\sqrt3$，因此 $\S{ABQ}$ 最大值为 $6\sqrt3$。 |
|
