来自人教群的四线作平行

kuing

浙B爱好者冷场(3705*****) 15:59:06


咋做？

记各线夹角依次为 $\angle1$, $\angle2$, $\angle3$, $\angle4$，则其他角度如下图所示

则由正弦定理有
\begin{align*}
\frac{OA_1}{OP}&=\frac{OA_1}{OA_2}\frac{OA_2}{OA_3}\frac{OA_3}{OA_4}\frac{OA_4}{OP} \\
& =\frac{\sin (\angle 2+\angle 3)}{\sin \angle 4}\frac{\sin (\angle 3+\angle 4)}{\sin \angle 1}\frac{\sin (\angle 4+\angle 1)}{\sin \angle 2}\frac{\sin (\angle 1+\angle 2)}{\sin \angle 3} \\
& =\frac{\sin ^2(\angle 1+\angle 2)\sin ^2(\angle 2+\angle 3)}{\sin \angle 1\sin \angle 2\sin \angle 3\sin (\angle 1+\angle 2+\angle 3)},
\end{align*}
因为
\begin{align*}
\sin (y+z)\sin (z+x)-\sin x\sin y
& =\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y+2z)}2-\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}2 \\
& =\frac{\cos (x+y)-\cos (x+y+2z)}2 \\
& =\sin z\sin (x+y+z),
\end{align*}
由此及均值有
\begin{align*}
\sin ^2(\angle 1+\angle 2)\sin ^2(\angle 2+\angle 3)
& =(\sin \angle 1\sin \angle 3+\sin \angle 2\sin (\angle 1+\angle 2+\angle 3))^2 \\
& \geqslant 4\sin \angle 1\sin \angle 2\sin \angle 3\sin (\angle 1+\angle 2+\angle 3),
\end{align*}
所以 $OA_1\geqslant 4OP$。

Tesla35

存个档

Tesla35

原参考答案

kuing

在纯几何解法面前，我的三角法的优点看来只有不用作辅助线这一点……

abababa

回复 4# kuing

有时觉得几何解法要借助很多直观，例如交点的位置，可能在线段上也可能在延长线上，这样线段加减就不一定对了，感觉深究的话还要证明交点到底在哪，这又依赖于作图的情况。

Tesla35

再来一个解答：

isee

回复 1# kuing

v5！中间三角恒等式

kuing

回复  kuing

v5！中间三角恒等式
isee 发表于 2015-11-10 16:44

那个三角恒等式之前在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3118 就提到过

isee

回复 8# kuing


    果然与 托勒密 可挂上..