请教一概率题

wenshengli

袋中有若干枚均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已知普通硬币占总硬币数的比例为$\theta$($0<\theta<1$).从袋中任取一枚硬币，在不查看它属于哪种硬币的前提下，将其独立地连掷两次.
（1）以$X$记掷出的正面数，求$X$的分布列；
（2）将上述试验独立重复地进行$n$次，以$Y$记这$n$次试验中不出现正面的次数，求$Y$的分布列.

战巡

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这有何难？

(1)
令$Z$为抽硬币的指示数，抽到普通硬币$Z=1$，否则$Z=0$，故有$P(Z=1)=\theta$
由全概率公式可得
\[P(X=0)=P(X=0|Z=0)P(Z=0)+P(X=0|Z=1)P(Z=1)=0·(1-\theta)+\frac{1}{4}·\theta=\frac{\theta}{4}\]
\[P(X=1)=P(X=1|Z=0)P(Z=0)+P(X=1|Z=1)P(Z=1)=0·(1-\theta)+\frac{1}{2}·\theta=\frac{\theta}{2}\]
\[P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\frac{3\theta}{4}\]

(2)
显然$Y\sim BIN(n,P(X=0))=BIN(n,\frac{\theta}{4})$，接下来分布列自己弄吧

wenshengli

回复 2# 战巡

谢谢战巡！