随便玩玩

血狼王

若$a+b+c=3$且$a,b,c$均为非负实数，求证
$$\frac{x^3}{x^2+2y^2}+\frac{y^3}{y^2+2z^2}+\frac{z^3}{z^2+2x^2}\geq 1+\frac{1}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|;$$
又，同条件下，求证
$$\frac{x^3}{2x^2+y^2}+\frac{y^3}{2y^2+z^2}+\frac{z^3}{2z^2+x^2}\geq 1+\frac{1}{14}|(x-y)(y-z)(z-x)|.$$

血狼王

求证对任意实数$x$均有：
$(1)$
$$-\frac{x^2}{32}\leq \frac{\sin x}{x}-\cos x\leq \frac{x^2}{3};$$
$(2)$
$$-\frac{x^4}{1050}\leq 1-\cos x-\frac{1}{2}x\sin x\leq \frac{x^4}{24}.$$

血狼王

对一切非负实数$x,y,z$，求证：
$$\frac{x^3}{(y-z)^2}+\frac{y^3}{(z-x)^2}+\frac{z^3}{(x-y)^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2+z^2)}.$$

血狼王

若$0\leq z\leq y\leq x\leq 1$，求证：
$$\frac{5}{3}\leq x^y+y^z+z^x\leq 3.$$

血狼王

若$x,y,z$为非负实数，求证：
$$\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\geq \frac{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2}.$$

血狼王

以上题目大家任选一个来做，看看谁证得出来