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【司令】中山温老师(2865*****) 21:31:52
比如这个就很难搞
这个挺有好玩，事关我总算想到了几何解法。
解：设 $GF_1=p$, $GF_2=q$, $IF_1=m$, $HF_2=n$, $KI=s$, $KH=t$, $KF_1=u$, $KF_2=v$，如图所示。
由梅氏定理有
\[\frac mp\cdot \frac{q+n}n\cdot \frac vs=1,\]
因为 $m+s+v=2a$，所以上式可化为
\[v\cdot \frac{q+n}n=p\cdot \frac{2a-v-m}m=\frac pm(2a-v)-p,\]
由熟知的结论有
\[
\frac1p+\frac1m=\frac1q+\frac1n=\frac{2a}{b^2}
\riff \led
\frac{q+n}n&=\frac{2aq}{b^2}=\frac{2a(2a-p)}{b^2}, \\
\frac pm&=\frac{2ap}{b^2}-1,
\endled
\]
代入上面即得
\[v\cdot \frac{2a(2a-p)}{b^2}=\left( \frac{2ap}{b^2}-1 \right)(2a-v)-p,\]
化简整理得
\[p-v=\frac{2ab^2}{4a^2-b^2},\]
同理可得
\[q-u=\frac{2ab^2}{4a^2-b^2},\]
两式相加即得
\[2a-u-v=\frac{4ab^2}{4a^2-b^2},\]
所以
\[u+v=\frac{2a(4a^2-3b^2)}{4a^2-b^2},\]
可见 $K$ 恒在一椭圆上，且其焦点与原椭圆相同，具体表达式就懒得写了。 |
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