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川S教师浩森(1014****) 19:48:58
这个是内心，去掉=0，会如何？
阅A爱好者渣k(249533164) 21:00:49
这个等于0应该是多余的，因为由前两个等号已经能确定 O，而既然内心满足，那就是它了
川S教师浩森(1014****) 21:12:21
前两个等号为什么能确定？
阅A爱好者渣k(249533164) 21:18:45
你也可以这样证，设 I 为内心，将 AO 等换成 AI+IO 等，由于 I 满足=0的等式，展开之后变成 IO*（……）=IO*（……）=IO*（……），然后由那三个括号里的向量的方向可判断出只有 IO=0 才会成立
当时只是略讲了下，现在来补充详细过程。
现在证明 $=0$ 这条件是多余的，即只需前两个等号就能得出 $O$ 为内心。
为方便书写，记 $\vv{AB}$, $\vv{BC}$, $\vv{CA}$ 方向上的单位向量分别为 $\bm e_1$, $\bm e_2$, $\bm e_3$，设 $I$ 为内心，则前两个等号可以写成
\[\bigl(\vv{AI}+\vv{IO}\bigr)\cdot(\bm e_3+\bm e_1)
=\bigl(\vv{BI}+\vv{IO}\bigr)\cdot(\bm e_1+\bm e_2)
=\bigl(\vv{CI}+\vv{IO}\bigr)\cdot(\bm e_2+\bm e_3),\]
由于 $\bm e_3+\bm e_1$ 的方向与 $\angle A$ 的外角平分线平行，因此必有 $\vv{AI}\cdot(\bm e_3+\bm e_1)=0$，同理 $\vv{BI}\cdot(\bm e_1+\bm e_2)
=\vv{CI}\cdot(\bm e_2+\bm e_3)=0$，故上式展开得到
\[\vv{IO}\cdot(\bm e_3+\bm e_1)
=\vv{IO}\cdot(\bm e_1+\bm e_2)
=\vv{IO}\cdot(\bm e_2+\bm e_3),\]
于是
\[\vv{IO}\cdot(\bm e_1-\bm e_2)
=\vv{IO}\cdot(\bm e_1-\bm e_3)
=0,\]
显然 $\bm e_1-\bm e_2$, $\bm e_1-\bm e_3$ 是不共线的两个非零向量，故由上式可知只能是 $\vv{IO}=\bm 0$，这就得到了 $O$ 是内心。 |
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