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广州王勇成(5234*****) 16:16:28
题目多余文字太多，简单来说，就是每包里都有一张卡，卡有 ABC 三种，买五包，问集齐的概率。
解：事件总数为 $3^5$，其中没有卡 A 的为 $2^5$，对 B, C 同理，而全部都为同一种卡只有 $3$ 种可能，故由容斥原理，能集齐三种卡的方法数为 $3^5-3\times2^5+3=150$，故所求概率为 $150/3^5=50/81$。
推广之，设有 $m$ 种卡，买 $n$ 包，设集齐所有卡种的概率为 $P$，则
\[P=\frac{m^n-m(m-1)^n+C_m^2(m-2)^n-C_m^3(m-3)^n+\cdots +(-1)^{m-1}C_m^{m-1}1^n}{m^n}
=\sum_{r=0}^{m-1}(-1)^rC_m^r\left(1-\frac rm\right)^n.\] |
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