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广州王勇成(5234*****) 18:59:27
秒一下这题
表示一直没想到简洁的证法，看上去应该有的，算了，先上一个微暴力证法……
因为
\[\frac{16-5x+x^2}{48}-\frac1{x+3}=\frac{x(x-1)^2}{48(x+3)},\]
所以
\[\sum \frac a{ab+3}\leqslant \frac1{48}\sum a(16-5ab+a^2b^2),\]
故此只需证
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)\leqslant 36.\]
为方便书写，令 $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc$，则由条件易得 $p^2-2q=3$, $p\leqslant 3$, $q\leqslant 3$，经过一些计算不难得到
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)=(10-p^2-q)r+p(q^2-5q+16)+(5-q)(ab^2+bc^2+ca^2+abc),\]
由熟知的不等式
\[ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac4{27}(a+b+c)^3,\]
得到
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)\leqslant (10-p^2-q)r+p(q^2-5q+16)+\frac4{27}p^3(5-q),\]
将 $q=(p^2-3)/2$ 代入上式化简为
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)\leqslant \frac12(23-3p^2)r+\frac{19p^5-328p^3+2781p}{108}.\]
（1）当 $23-3p^2\geqslant 0$ 时，由均值有 $r\leqslant p^3/27$，故
\begin{align*}
\sum a(16-5ab+a^2b^2)
&\leqslant \frac12(23-3p^2)\cdot \frac{p^3}{27}+\frac{19p^5-328p^3+2781p}{108} \\
&=\frac{13p^5-282p^3+2781p}{108} \\
&=f(p),
\end{align*}
求导得
\[f'(p)=\frac{65p^4-846p^2+2781}{108},\]
计算其判别式易知 $f'(p)>0$，所以
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)\leqslant f(p)<f(3)=36;\]
（2）当 $23-3p^2<0$ 时，由 \schur 不等式有
\[r\geqslant \frac{4pq-p^3}9=\frac{2p(p^2-3)-p^3}9=\frac{p(p^2-6)}9,\]
故
\begin{align*}
\sum a(16-5ab+a^2b^2)
&\leqslant \frac12(23-3p^2)\cdot \frac{p(p^2-6)}9+\frac{19p^5-328p^3+2781p}{108} \\
&=\frac{p^5-82p^3+1953p}{108} \\
&=g(p),
\end{align*}
求导得
\[g'(p)=\frac{5p^4-246p^2+1953}{108}=\frac{5(9-p^2)^2+156(9-p^2)+144}{108}>0,\]
所以
\[\sum a(16-5ab+a^2b^2)\leqslant g(p)\leqslant g(3)=36.\]
综上所述，原不等式得证。 |
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