一道函数题 $\{x|f(x)=0\}=\{x|f(f(x))=0\}\ne\kongji$

ym2016

已知函数$f(x)=a\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^x+bx^2+cx(a\in R, b\neq 0, c\in R)$, 若
$$\{x|f(x)=0\}=\{x|f(f(x))=0\}\neq\kongji$$
则实数 $c$ 的取值范围是?

kuing

回复 1# ym2016

那个指数函数是纸老虎哟，设 $x_0\in\{x\mid f(x)=0\}$，即 $f(x_0)=0$，又  $x_0\in\{x\mid f(f(x))=0\}$，则 $f(f(x_0))=0$，即 $f(0)=0$，所以 $a=0$，故此
\begin{align*}
f(x)&=x(bx+c), \\
f(f(x))&=x(bx+c)\bigl(bx(bx+c)+c\bigr)=x(bx+c)(b^2x^2+bcx+c).
\end{align*}

若 $c=0$，则显然 $\{x\mid f(x)=0\}=\{x\mid f(f(x))=0\}=\{0\}$；

若 $c\ne0$，则 $\{x\mid f(x)=0\}=\{0,-c/b\}$，而 $\{x\mid f(f(x))=0\}$ 也至少包含这两个元素，故此必须 $b^2x^2+bcx+c=0$ 无实根或者实根也在 $\{0,-c/b\}$ 当中，故分类讨论之：

（1）若 $b^2x^2+bcx+c=0$ 无实根，则 $\Delta=b^2c(c-4)<0 \iff 0<c<4$；

（2）若 $b^2x^2+bcx+c=0$ 的实根在 $\{0,-c/b\}$ 当中，由于 $c\ne0$，根一定不是 $0$，只能是 $-c/b$，将其代入方程中为 $c=0$，仍然不行，所以这种情况不存在。

缩上所述，所求范围是 $0\leqslant c<4$。