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kuing
Post time 2016-3-9 03:11
哈，猛然发现，对于求中点轨迹的，在椭圆的情形里倒是有个非常简洁的代数方法。
先引入一个熟知的结论：椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上的弦 $AB$ 的中点为 $M$，则 $k_{AB}\cdot k_{OM}=-b^2/a^2$。
题目：
已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-c,0)$，弦 $AB$ 和 $CD$ 均过 $F$，且 $AB\perp CD$，点 $M$, $N$ 分别为$AB$, $CD$ 的中点，$MN$ 的中点为 $P$，求 $P$ 的轨迹。
解：设点 $M$ 的坐标为 $(x_M,y_M)$，其余点的设法类似，由上面的结论有
\[\frac{y_M}{x_M}\cdot \frac{y_M}{x_M+c}=\frac{y_N}{x_N}\cdot \frac{y_N}{x_N+c}=-\frac{b^2}{a^2},\]
则由等比定理得
\[\frac{y_M^2-y_N^2}{x_M(x_M+c)-x_N(x_N+c)}=-\frac{b^2}{a^2},\]
分解为
\[\frac{y_M+y_N}{x_M+x_N+c}\cdot \frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=-\frac{b^2}{a^2},\]
设 $MN$ 与 $x$ 轴交于 $K$，设 $OF$ 的中点为 $G$，则 $-c=2x_G$, $y_M+y_N=2y_P$, $x_M+x_N=2x_P$，那么上式等价于
\[\frac{y_P}{x_P-x_G}\cdot \frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=-\frac{b^2}{a^2}
\iff k_{PG}\cdot k_{MN}=-\frac{b^2}{a^2}
\iff k_{PG}\cdot k_{PK}=-\frac{b^2}{a^2},\]
而楼上已经证明了 $K$ 为定点，$G$ 也是定点，于是根据另一个熟知的结论，由 $k_{PG}\cdot k_{PK}=-b^2/a^2$ 可知 $P$ 的轨迹为椭圆，该椭圆的长轴为 $KG$，而且离心率与原椭圆相同。 |
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乌贼
Post time 2016-6-2 05:24
