两道自编解析几何，感觉解答有点不顺，大虾帮忙看看

郝酒

1. 曲线C由两段曲线${{E}_{1}}:\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(y\le x)$和${{E}_{2}}:\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(y>x)$相接而成，其中$a>b>0$，设A，B是曲线上任意两点，$\left| AB \right|$的最大值为 __________.

2. 动圆与圆${{O}_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x=0$外切，同时与圆${{O}_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-24=0$内切.
(1) 求动圆圆心的轨迹E.
(2) 若过圆${{O}_{1}}$上一点R的切线，交圆${{O}_{2}}$于P，Q两点，满足$PR:RQ=3:7$；求(1)中所得的轨迹E被该切线截得的交点弦长.

血狼王

回复 1# 郝酒


第一题我觉得取最大时，$A\in E_1$而$B\in E_2$（反过来也行），这样会简单一点
（证明这一点可以从以下事实出发：曲线C关于$y=x$对称）。
第二题的第一小题是基础题，考定义，不讲；第二小题得先求切线方程。
“一圆切线为另一圆割线”，不好搞，我回去进一步研究一下。
不过利用平面几何方法，比如：
作过$R$切于圆$O_2$的切线和$RO_2$（$R$与$O_2$圆心连线），再作过$O_2$圆心的$RPQ$的垂线，用圆幂定理、勾股定理列方程……
却是可以的。

血狼王

废话太多了

郝酒

谢谢您的关注。
第一题是在斜率为-1，差不多最长的时候取得最大值。
开始想解析的时候是想把该图形放在两条平行的直线里，求平行直线之间距离的最大值，最后发现说的不是太通。

第二题是3：7的Trick，这样PQ必须有一点是大圆与x轴的交点。计算好像解决不了：（所以就不知道适不适合做考试题。

血狼王

回复 4# 郝酒

高考不行，作为奥数题还是可以的（全国高中数学联赛这个等级的）