单射函数

opuikl_0

证明以下函数都是单射：
1）$ f(t,\theta)=(\cosh t\cos \theta, \cosh t\sin \theta, t) $
2）$ f(\theta,v)=(\cos\theta+v\sin(\theta/2)\cos\theta,\sin\theta+v\sin(\theta/2)\sin\theta, v\cos(\theta/2)) $
3) $ f(a,b)=((2+\cos a)\cos b, (2+\cos a)\sin b,\sin a) $

kuing

不是吧，$f(t,\theta)=f(t,\theta+2\pi)$，怎么会单射，后面两个也是

opuikl_0

回复 2# kuing


那如果theta满足(-pi,pi)的范围呢？

kuing

那如果theta满足(-pi,pi)的范围呢？
opuikl_0 发表于 2016-3-20 14:41

那容易，若 $f(t_1,\theta_1)=f(t_2,\theta_2)$，则
\[\led
\cosh t_1\cos \theta_1&=\cosh t_2\cos \theta_2, \\
\cosh t_1\sin \theta_1&=\cosh t_2\sin \theta_2, \\
t_1&=t_2,
\endled\]
因为 $\cosh x>0$，所以上式等价于
\[\led
\cos \theta_1&=\cos \theta_2, \\
\sin \theta_1&=\sin \theta_2, \\
t_1&=t_2,
\endled\]
当 $\theta_1$, $\theta_2\in(-\pi,\pi)$ 时，由第一式得 $\theta_1=\theta_2$ 或 $\theta_1=-\theta_2$，前者符合第二式，而后者代入第二式后得出 $\theta_2=0$，依然得出 $\theta_1=\theta_2$，所以总有 $\theta_1=\theta_2$, $t_1=t_2$，于是就是单射。

opuikl_0

回复 4# kuing


所以2）3）都是用一样的证法？

谢谢谢谢

kuing

回复 5# opuikl_0

嗯，但可能复杂点