2011年全国联赛一道题

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做这道题的时候心里闪过一个念头：能否利用空间坐标系解决这道题？
可是想了很久也没有什么进展，于是来这里寻求各位高手的帮助。

kuing

画图看是能看出来，但要说理就不太好说清，至少麻烦。
如下图，轨迹就是夹在下面那一小段，看得出关于 $x$ 是单调的，所以最值在交点上。


还是玩别的吧，比如玩三次函数就比较简单：
令 $f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)$，则 $x$ 就是 $f(t)$ 的最大零点，由条件得 $xy+yz+zx=1$，故 $f(t)=t^3-t^2+t-xyz$，可见 $f(t)$ 只能上下移，且 $x$ 随上移而减小，那么，移到最高，即 $x=y$ 时 $x$ 最小，移到最低，即 $y=z$ 时 $x$ 最大，下略。

APP

想请教k空间法有什么妙解吗

游客

kuing

回复 4# 游客

x,y,z 间有大小约束，有一边取不了

游客

回复 5# kuing


    哦，没看清楚，不好意思。
那后面那个用方程的方法可以结合二次函数图象讨论零点分布。

kuing

回复 6# 游客

另外，图片保存不要用 bmp 格式，太大了，占空间，建议存为 png，质量不差多少，体积却通常只有 bmp 的十分一不到（特别是色彩不多的图）

游客

在空间，第二个条件表示平面，第三个条件表示球面，第一个条件表示空间区域。
三个条件合起来表示一段圆弧。
要求X的取值范围就是求圆弧上的点在X轴上的投影的范围。
只要求出圆弧的端点（X=Y和Y=Z时）在X轴上的投影，以及垂直于X轴的平面与圆弧
相切时的X。由于圆弧的一个端点刚好是相切时的情况，所以只要考虑两端点。