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川R爱好者临疯(3579*****) 8:52:36
请教第15题第4小项如何判断，谢谢。
以前扯的时候说过，仅凭奇函数不足以确定中间项，要是有单调性就好办，而这道题虽然不单调，但还是能确定的，下面来写写。
设 $a_2=\pi +m$, $a_1=\pi +m-d$, $a_3=\pi +m+d$，则
\begin{align*}
f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)&=3\pi +3m+\sin 2m+\sin (2m-2d)+\sin (2m+2d) \\
&=3\pi +3m+\sin 2m+2\sin 2m\cos 2d,
\end{align*}
所以
\[3m+\sin 2m+2\sin 2m\cos 2d=0,\]
当 $m=0$ 时显然成立，当 $m\ne0$ 时，必然 $\sin2m\ne0$，则变形为
\[1+2\cos 2d=-\frac{3m}{\sin 2m},\quad (*)\]
不难证明恒有
\[-\frac{3m}{\sin 2m}<-\frac32~\text{或}~{-}\frac{3m}{\sin 2m}>3,\]
而 $1+2\cos 2d\in [-1,3]$，可见此时 (*) 式无解。
综上，只有 $m=0$ 符合条件，所以 $a_2=\pi$。$\square$
然而，如果我们将 sin 里面的数改大，就能构造出不能推出的例子。
具体来说，将 $f(x)$ 改成 $f(x)=x+\sin(kx)$ 且 $k>3$，那么类似上面的，当 $m\ne0$ 时将得到
\[1+2\cos(kd)=-\frac{3m}{\sin(km)},\]
当 $m$ 趋向 $0$ 时，右边的值就在 $(-1,-3/k)$ 以内，这时解就一定存在，这样就得不出 $a_2=\pi$ 了。
构造具体例子，可以取 $k=4$，即 $f(x)=x+\sin4x$，取 $m=\pi/24$，代入化简为 $\cos4d=(-\pi-4)/8$，于是得到例子
\[a_2=\frac{25}{24}\pi, d=\frac14\arccos\frac{-\pi-4}8,\]
从感观上来说，就是一点儿不单调尚可，太不单调就不行…… |
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游客
Post time 2016-3-29 15:40
