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kuing
Post time 2016-4-3 22:31
我用一般情况来算发现涉及三次方程，而这题数据是设计过，刚好有简单的因式分解，所以没啥性趣研究太多了，下面就用几何角度来简略写写。
显然，问题等价于：抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，过 $F$ 的弦 $AB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $OC=m$，求 $AB$ 的长。
如图，设 $AB$ 中点为 $Q$，$CQ$ 与 $x$ 轴交于 $R$，过 $A$, $B$ 分别向准线引垂线 $AA'$, $BB'$，则有
\[\frac{FQ}{FR}=\frac{BB'-AA'}{AB}=\frac{2FQ}{AB}\riff AB=2FR,\]
易证
\[\frac1{FA}+\frac1{FB}=\frac2p,\]
由 $AB=2FR$ 得 $FA=FR-QF$, $FB=FR+QF$，故
\[\frac2p=\frac1{FR-QF}+\frac1{FR+QF}
=\frac{2FR}{FR^2-QF^2}=\frac{2FR}{QR^2}
\riff QR^2=p\cdot FR,\]
由三角形相似有
\[FR\cdot OR=QR\cdot CR
\riff FR\left( FR+\frac p2 \right)=\sqrt{p\cdot FR}\sqrt{m^2+\left( FR+\frac p2 \right)^2},\]
平方整理为
\[4FR^3-3p^2FR-4m^2p-p^3=0,\]
所以说一般数据就要解三次方程，而1楼的题是 $p=2$, $m=5$，代入上式恰好能因式分解为
\[4(FR-4)(FR^2+4FR+13)=0,\]
所以 $FR=4$，即 $AB=8$。 |
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游客
Post time 2016-4-22 11:10
