高三函数，如何不“小题大做”

wzyl1860

kuing

小题小做，就直接利用对称性，当直线过C的对称中心且有三个交点时一定符合，然后就不管必要性了。

当大题做的话就还要证明必要性，不过这其实也不难。

等价于三次函数 $f(x)=x^3-px^2+3x-(x-8)/9$ 存在两个导数相等的零点。

注意到如果三次函数仅存在两个零点，那必有一个零点是与 $x$ 轴相切，另一个则不切，这显然不符合要求，因此这样的三次函数一定有三个零点，故可设
\[f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),\]
其中 $x_1$, $x_2$, $x_3$ 为互不相等的实数，则
\begin{align*}
f'(x)&=(x-x_1)(x-x_2)+(x-x_1)(x-x_3)+(x-x_2)(x-x_3),\\
f''(x)&=2(3x-x_1-x_2-x_3),
\end{align*}
不妨设在 $x=x_1$, $x=x_2$ 两处的导数相同，即
\[f'(x_1)=f'(x_2) \iff (x_1-x_2)(x_1-x_3)=(x_2-x_1)(x_2-x_3) \iff x_1+x_2=2x_3,\]
于是
\[f''(x_3)=2(2x_3-x_1-x_2)=0,\]
这表明 $f(x)$ 剩下的那个零点也正是它的拐点，即 $f(x)$ 的对称中心在 $x$ 轴上，亦即直线过 $C$ 的对称中心。

那么，对于原题的数据，有 $f''(x)=6x-2p$，则 $f(p/3)=0$，解得 $p=-3$, $p=-1$, $p=4$，最后别忘了还需要有三个零点这一前提，代入检验后，发现 $p=-1$ 是只有一个零点，另外两个都没问题，因此最终结果就是 $p=-3$ 或 $p=4$。

wzyl1860

，忽略了三次函数的对称性，结果算得巨麻烦，得出结果来感觉意义也不大，毕竟只是一道小题