一道高三模拟试题求助

榕坚

化来化去总得不到答案：$2^{1007}$

kuing

\$2^{1007}\$  非单个字符的上下标要用 {} 括起整体。

这题想到答案倒是不难，就是论证有点麻烦，所以当填空题好，当大题就是坑。

首先从递推式解出 $a_{n+1}$ 易得 $a_{n+1}=a_n/2$ 或 $a_{n+1}=1/a_n$，令 $f(x)=x/2$, $g(x)=1/x$，那么 $a_{2016}$ 的可能值为
\[F_1(F_2(\cdots F_{2015}(a_1)\cdots)),\]
其中每个 $F_i$ 可任意取 $f$ 或 $g$。

注意到 $g(g(x))=x$ 且 $f(g(f(x)))=g(x)$，这表明连续偶数个 $g$ 可以去掉，连续奇数个 $g$ 可化为只剩一个，而单个 $g$ 若两边有 $f$ 又可以同时一边去掉一个，再注意到每次化简操作都是去掉两层的，于是 $F_1(F_2(\cdots F_{2015}(a_1)\cdots))$ 经过化简后，必定能化成以下四种情形之一：

（1）没有 $g$，且 $f$ 的个数为奇数；

（2）$g(f(f(\cdots f(g(a_1))\cdots )))$，且 $f$ 的个数为奇数；

（3）$g(f(f(\cdots f(f(a_1))\cdots )))$，且 $f$ 的个数为偶数或零；

（4）$f(f(f(\cdots f(g(a_1))\cdots )))$，且 $f$ 的个数为偶数或零。

对于（1），设 $f$ 的个数为 $2k-1$, $k\inN^+$，则 $a_{2016}=a_1/2^{2k-1}$，显然不能使 $a_{2016}=a_1$；

对于（2），设 $f$ 的个数为 $2k-1$, $k\inN^+$，则 $a_{2016}=2^{2k-1}a_1$，显然也不能使 $a_{2016}=a_1$；

对于（3），设 $f$ 的个数为 $2k$, $k\inN$，则
\[a_{2016}=\frac{2^{2k}}{a_1},\]
于是要使 $a_{2016}=a_1$ 则 $a_1=2^k$，注意 $k$ 最大为 $1007$，所以这种情况下 $a_1$ 的最大值为 $2^{1007}$；

对于（4），设 $f$ 的个数为 $2k$, $k\inN$，则
\[a_{2016}=\frac1{2^{2k}a_1},\]
于是要使 $a_{2016}=a_1$ 则 $a_1=1/2^k$，显然比（3）的要小。

综上所述，所求的最大值就是 $2^{1007}$。

kuing

从（4）也顺便得出了最小值是 $2^{-1007}$。

榕坚

谢谢，顺便也改了指数幂的输入。我在得到两个递推式后认为是一致孤立的使用，所以不管哪一种都得出与$a_1=a_{2016}$相矛盾。

游客

倒数或者一半，两种变化不断叠加，可以直接看其结果的形式，不用分析其具体过程，最后做个验证就可以了。