发个类似高三不等式的题目 $x^2e^x>e x-1$

goft

求证：$x^2e^x>e x-1$

听说比较变态

kuing

当 $x\leqslant 0$ 时显然成立，当 $x>0$ 时，熟知 $e^x>1+x+x^2/2$，故只需证
\[x^2+x^3+\frac{x^4}2>ex-1,\]
即
\[\frac1x+x+x^2+\frac{x^3}2>e,\]
由均值，有
\begin{align*}
左边&=\frac{467}{1250x}+x+\left( \frac35 \right)^3\frac1x+\left( \frac35 \right)^3\frac1x+x^2+\left( \frac35 \right)^4\frac1{2x}+\left( \frac35 \right)^4\frac1{2x}+\left( \frac35 \right)^4\frac1{2x}+\frac{x^3}2 \\
&\geqslant 2\sqrt{\frac{467}{1250}}+3\cdot\left( \frac35 \right)^2+2\cdot\left( \frac35 \right)^3 \\
&=\frac{5\sqrt{934}+189}{125} \\
&\approx 2.73 \\
&>e,
\end{align*}
即得证。

goft

回复 2# kuing

果然变态呀，精确度要求高，还是渣k厉害，均值系数怎么配方的

kuing

回复 3# goft

那系数只是大概的，不是最准确的，也就是说均值那步的等号其实是取不到的，但这没关系，因为我们不需要求最小值，只要弄一个左不多的下界出来就行。
若记 $f(x)=\frac1x+x+x^2+\frac{x^3}2$，则 $f'(x)=0$ 要解四次方程，解不了，但求近似解的话根大概在 0.6 ，所以就用 3/5 来配。

战巡

回复 3# goft


到头来都是算数精度问题，有意思么？我直接导数，然后牛顿切线迭代暴力求极值点，比这个还要简单快捷，反正计算全丢给电脑

敬畏数学

这么玩吗？这题没有别的路吗？

战巡

回复 6# 敬畏数学

根本没必要玩下去，这种题明摆着就是折腾人的，你们何必跟着他们转？要出这种题我可以出无数个，比如我硬要你证明$\pi>3.14159265358$，又不准你用计算器，我看你们怎么搞
你要是做出来了我还可以继续提高精度，你就接着折腾吧，看我不玩死你们！