来自某教师群的椭圆过中心等腰三角形面积最小值

kuing

江苏西亭中学金鑫(2928*****) 9:55:27

各位大神此题用仿射变换如何破解？

        
由 $DE=DF$ 可知 $OD\perp EF$，则 $E$, $F$ 必分别在二四象限，如左图。现在，沿 $y$ 轴作伸缩变换 $y\to2y$，那么椭圆变成半径为 $2$ 的圆，如右图。

变换后，$\triangle DEF$ 的面积变为原来的两倍，由变换前 $OD\perp EF$ 可知变换后 $k_{OD}\cdot k_{EF}=-4$，即右图中 $\tan\theta_1\tan\theta_2=4$，而
\[\S{DEF}=\frac12EF\cdot OD\sin(\theta_1+\theta_2)=4\sin(\theta_1+\theta_2),\]
由均值有
\[\frac1{\sin^2(\theta_1+\theta_2)}=1+\frac1{\tan^2(\theta_1+\theta_2)}
=1+\left(\frac{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}{\tan\theta_1+\tan\theta_2}\right)^2
\leqslant 1+\frac{(1-\tan\theta_1\tan\theta_2)^2}{4\tan\theta_1\tan\theta_2}
=\frac{25}{16},\]
故
\[\S{DEF}=4\sin(\theta_1+\theta_2)\geqslant \frac{16}5,\]
当且仅当 $\theta_1=\theta_2$ 时取等，故此，变换前的 $\S{DEF}$ 的最小值为 $8/5$，当且仅当 $OD$, $EF$ 斜率相反，即 $k_{OD}=1$, $k_{EF}=-1$ 时取等。

游客

kuing

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嗯，这招更简单直接。