四面体6个二面角中钝角个数最多有几个

guanmo1

如题

guanmo1

回复 1# guanmo1


    有答案了吗

kuing

应该是四个，就是不知怎么论证

isee

回复 3# kuing


    那就真有难度了

guanmo1

回复 3# kuing

一个资料上的答案是三个

kuing

似乎是我想错了

guanmo1

各位高手：这道题有结果了吗？

hejoseph

百度上看是2008年安徽预赛的一个选择题，但是不知道怎么做

kuing

看看酱紫论证行不行？：

设四面体为 $ABCD$，为方便叙述，先约定一下，由于六个二面角分别对应于六条棱，因此下面就以棱来指代二面角，
比如说“$BC$ 为钝角”即表示“二面角 $A$-$BC$-$D$ 为钝角”。

先证明同一个三角形内不会三边都是钝角。
若 $AB$, $AC$ 均为钝角，考虑点 $D$ 在平面 $ABC$ 上的垂直投影 $D'$，
由 $AB$ 为钝角可知 $D'$, $C$ 在直线 $AB$ 的两侧，
同理 $D'$, $B$ 在直线 $AC$ 的两侧，故此 $D'$ 必定在 $\angle BAC$ 的对顶角的内部，如图所示，
此时 $D'$, $A$ 必在直线 $BC$ 同侧，于是 $BC$ 为锐角，所以不会三边都是钝角。

   

现在假设六条棱中有四条为钝角，由上述结论可知，这四条棱必然是首尾相接的，不妨设为 $AB$, $BD$, $DC$, $CA$，
刚才已经证明了 $D'$ 在 $\angle BAC$ 的对顶角的内部，由此得到
$\angle BAC>\angle BD'C>\angle BDC$，【这步有问题，待修正】
同理，由 $DB$, $DC$ 均为钝角将会推出 $\angle BDC>\angle BAC$，矛盾！

综上，不可能有四条棱为钝角，而三条是容易构造的，只需一个足够扁的正三棱锥即可，所以最多有三个。

hejoseph

点 $D'$ 是正射影不能得到 $\angle BD'C>\angle BDC$ 的

kuing

点 $D'$ 是正射影不能得到 $\angle BD'C>\angle BDC$ 的
hejoseph 发表于 2016-5-4 22:22

果真如此！是我想当然了，谢谢提醒。
（算下来即知：记 $D'B=b$, $D'C=c$, $BC=a$，则当 $a^2<(b^2-c^2)^2/(b^2+c^2)$ 时，$D$ 由 $D'$ 向上运动的过程中 $\angle BDC$ 先增后减）

hejoseph

想到一个方法：
设四面体是 $ABCD$，二面角 $C\text{-}AB\text{-}D$的平面角是 $\theta_{AB}$，其他以此类推。设 $\theta_{AB}$、$\theta_{AC}$、$\theta_{BD}$、$\theta_{CD}$ 都是钝角，由三面角第二余弦定理
\[
\cos\angle ABC=\frac{\cos\theta_{BD}+\cos\theta_{AB}\cos\theta_{BC}}{\sin\theta_{AB}\sin\theta_{BC}}<0，
\]
即 $\angle ABC$ 是钝角，同理可得 $\angle ACB$ 也是钝角，但一个三角形内最多只能有一个钝角，所以六个二面角中不能有四个是钝角。

isee

回复 12# hejoseph


    三面角第二余弦定理  复习下

敬畏数学

看半天不知所云。。。

kuing

想到一个方法：
设四面体是 $ABCD$，二面角 $C\text{-}AB\text{-}D$的平面角是 $\theta_{AB}$，其他以此类 ...
hejoseph 发表于 2016-5-5 21:44

very nice! 学习鸟！