Rayleigh-Jeans law VS Planck's law

╰☆ヾo.海x

通过将指数函数展开成数列形式，用极限证明波长$\lambda$是很长的，并且普朗克定律(Planck's law)收敛于瑞利—琼斯定律(Rayleigh-Jeans law).

The series expansion for $e^x$ is:
$$e^x=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{j!}$$
Rayleigh-Jeans law is:
$$I(\lambda,T)=\dfrac{2\pi ckT}{\lambda^4}$$
Planck's law is:
$$I(\lambda,T)=\dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5(e^\frac{hc}{\lambda kT}-1)}$$

kuing

完全看不懂，只能lu过

icesheep

就是要证 e^x - 1 ~ x 当 x->0 时。。。

kuing

呃，那还用证吗？级数都给出来了……
PS、\$e^x-1 \sim x , x\to0\$ get $e^x-1 \sim x , x\to0$

hbghlyj

Comparison to Planck's law
19世纪，由于冶金以及照明设备制造等的需要，人们急需找到黑体辐射强度和辐射频率的关系。1889年卢默与海因里希·鲁本斯通过研究空腔辐射得出了黑体辐射光谱的实验数据。但是，单使用实验数据找对应点的方法十分不便，于是，人们开始了寻找一般的公式。

1900年，瑞利根据经典统计力学推出了一个公式，1905年，金斯修正了瑞利辐射公式中的一个数值错误，以后，此公式被称为瑞利-金斯定律。

瑞利－金斯公式：\[w(\nu,T)dv=\frac{8 \pi \nu^2}{c^3} kTdv \]
其中，$w(\nu,T)$为辐射的能量密度，$k_B$是玻尔兹曼常数，$c$为真空中的光速，T是热力学温度。可以看出， $w$在$ν$趋向于无穷大时趋向于无穷大，这与实验数据相违背。1911年，奥地利物理学家埃伦费斯特用“紫外灾变”来形容经典理论的困境。

1900年，馬克斯·普朗克提出的普朗克黑體輻射定律，則在全部波長的範圍皆有效。普朗克黑體輻射定律形式如下：
\[I(\nu, T)=\frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h \nu}{kT}}-1}\]
當 $h\nu \ll kT$，則有
\[e^{\frac{h \nu}{kT}} \approx 1+ \frac{h \nu}{kT}\]
所以
\[I(\nu,T) = \frac{2 h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^\frac{h\nu}{kT} - 1} \approx \frac{2 h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{k T}{h\nu} = \frac{2 \nu^2 k T}{c^2}\]
普朗克黑體輻射定律就能退化為瑞利-金斯定律。