Gram-Schmidt Orthogonalization，有什么实际用处？

dodonaomik

斯密特规范正交化，有什么实际用处？在物理方面，尤其是在现实生活中有哪些应用？
我完全无知，
故而认真请教！


谢谢解答

dodonaomik

施密特正交化其实只是对那些有重根的特征值的特征向量正交化的一种方法。如果一个实对称矩阵的特征值都不同，那么他的特征值肯定正交了，此时不用施密特正交化。当一个矩阵求出有重的特征值时，就要先验证它的这个特征值的线性无关的特征向量是不是正交，如果不正交，此时才需要施密特正交化，否则不必


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看了上面的资料，
我对 Schimidt  Orthogonalization本身是什么东东，也迷糊起来啦~~~~

川木

你有一组基, 可是这组基里的向量间的内积可能很复杂, 而内积结构是线性空间的一个基本结构, 所以我们希望能得到一组对内积运算表现较好的基. Gram--Schmidt 就是从一组基出发来构造对内积表现较好的基的方法.

dodonaomik

xiexie  川木！

本身，施密特正交规范化没什么，
但是，前几天突然想到，
这东东，运算也不简单，实际用处在哪里呢？
当时，我自己真的懵啦

其妙

施密特正交规范化，从三维立体空间来说就是，任意三个不共面向量，可以正交规范化为一个直角空间坐标系｛i,j,k｝（均为单位向量，且两两互垂）？任何向量在此基向量｛i,j,k｝的坐标就是它的系数。

dodonaomik

вщтпду懂了！


谢谢其妙同志老百姓都能听得东阿解释~~~如果教材了这么写就好啦



有时候，只能徒叹奈何！同济数学教研组的那帮人，这个脑袋瓜子里浑浑噩噩的，以为自己编出来的书别人看不懂才好、1

hbghlyj

dodonaomik 发表于 2016-6-28 15:19
如果一个实对称矩阵的特征值都不同，那么他的特征值肯定正交了，此时不用施密特正交化。

红色字是“特征向量正交”吧
见 正规矩阵的不同特征值对应的特征向量正交

hbghlyj

其妙 发表于 2016-7-4 15:41
...任何向量在此基向量｛i,j,k｝的坐标就是它的系数。

搬运Wikipedia：
If $B$ is an orthogonal basis of $H$, then every element $x ∈ H$ may be written as
$B$ 是 $H$ 上的一个正交基，那么$H$中的每个元素 $x$ 都可以表示成：
\[x=\sum _{{b\in B}}{\langle x,b\rangle \over \lVert b\rVert ^{2}}b\]
When $B$ is orthonormal, this simplifies to
当 $B$ 是标准正交基时，就是：
\[ x=\sum _{{b\in B}}\langle x,b\rangle b\]
and the square of the norm of $x$ can be given by
$x$ 的模长表示为：
\[\|x\|^{2}=\sum _{{b\in B}}|\langle x,b\rangle |^{2}.\]
Even if $B$ is uncountable, only countably many terms in this sum will be non-zero, and the expression is therefore well-defined. This sum is also called the Fourier expansion of $x$, and the formula is usually known as Parseval's identity.
即使 $B$ 是不可数的，上面和式里的非零项也只会有可数多个，所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作 $x$ 的傅立叶展开，详见傅里叶级数。

If $B$ is an orthonormal basis of $H$, then $H$ is isomorphic to $ℓ^2 ( B )$ in the following sense: there exists a bijective linear map $Φ : H → ℓ^2 ( B )$ such that
若 $B$ 是 $H$ 上的一个标准正交基，那么 $H$ 同构于序列空间 $ℓ^2(B)$。因为存在以下 $H \to ℓ^2(B)$ 的双射 $\Phi$，使得对于所有 $H$ 中的 $x$ 和 $y$ 有：
\[    ⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ = ⟨ x , y ⟩\]