积分不等式

血狼王

$(1)$
证明存在正常数 $k$ 使下面的不等式成立：
$$\int_0^1 (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt)dx\leq k\cdot\sqrt{\int_0^1 f^2(x) dx}$$
假定 $f(x)\in C(0,1)$ 且以上积分有意义.
$(2)$
求 $k_{min}.$

血狼王

本狼已经对 $k\geq \sqrt{2}$ 的情形得到证明，但不知是不是有$k_{min}=\sqrt{2}$.