一类有积分约束单端点可变的泛函极值解法（变分法）

青青子衿

\(\fbox{问题\(A\)}\):
已知非线性积分\(\color{red}{约束}\)：
\[ \begin{equation*}\label{IE#1}\tag*{[integral equation#1]}
\int_0^x\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} \rmd{x}=T_0
\end{equation*}\]
\((1)\)求\(x_{max}\)；
\((2)\)当\(x=x_{max}\)时，\(F(x,y)=0\)，求\(F(x,y)\).



这个积分约束实际上是有物理背景的。
其中令泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]=\int_0^x\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} \rmd{x}\)，则\(\ref{IE#1}\)可等价于：
\[T[\,y(\,\cdot\,)\,]=T_0\]
而泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)有明确的物理意义
\[T[\,y(\,\cdot\,)\,]=\int_0^T\rmd{t}=\int_0^S\frac{\rmd{s}}{v}=\int_0^x\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} \rmd{x}\]
其中\(\rmd{s}=\sqrt{1+(y')^2}\rmd{x}\)，\(v=\sqrt{2gy}\Leftarrow \frac12mv^2=mgy\)
泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)是将定义在右端点可变动的动区间\((0,x)\)上可求长的曲线映射为正数\(\overline{\hspace{4cm}}\)从起点沿着曲线下降所需的时间
换句话说问题\(A\)与问题\(B\)等价。
\(\fbox{问题\(B\)}\):
重力场下，质量为\(m\)的小球沿着曲线\(Γ\)运动，相同时间\(T\)内水平位移\(x\)的最大值\(x_{max}\)（用\(g\)、\(T\)表示）
\(\fbox{问题\(B\)的间接解法思路}\):
问题\(B\)题目给定的是：求相同时间\(T\)内水平位移\(x\)的最大值。
因此，可以先求出水平位移\(x\)相同时，时间\(T\)的最小值。
这样问题\(B\)又转换成了问题\(C\)。

\(\fbox{问题\(C\)}\):
重力场下，质量为\(m\)的小球沿着曲线\(Γ\)运动，相同水平位移\(x=X_0\)时间\(T\)的最小值\(T_{min}\)（用\(g\)、\(X_0\)表示）
\(\fbox{问题\(C\)的（非间接）解析解法（变分法）}\):
此问题属于单变量函数一端自由变动的变分问题
不妨取起始点为原点\(O(0,0)\)，此问题归结为求泛函
\[T[\,y(\,\cdot\,)\,]=\int_0^b\color{blue}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}}\rmd{x}\]
的极值曲线\(\varGamma_0\)
其中\(\displaystyle F(y,y')=\color{blue}{\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}}\)称做泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)的核
由\(Euler\!-\!\!Lagrange\,Equation\)：
\[\color{red}{\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0}\]
并且由于泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)的核\(\displaystyle F(y,y')\)不显含\(x\)，即\(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=0\)，则：
\[
\begin{split}
&\color{orange}{\frac{\partial}{\partial x}\left(F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}\right)}\\
\\
\\
\\
\\
\end{split}
\begin{split}

&\begin{gathered}
=&\frac{\partial F}{\partial x}&+&\frac{\partial F}{\partial y}y'&+\frac{\partial F}{\partial y'}y''-y''\frac{\partial F}{\partial y'}&-y'\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\\
=&&&\frac{\partial F}{\partial y}y'&&-y'\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\\
\end{gathered}\\
&=y'\color{red}{\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right]}=\color{red}0
\end{split}
\]
故：\[\color{orange}{\frac{\partial}{\partial x}\left(F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}\right)}=\color{red}0\Rightarrow F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}=c_0\]
即\[\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}-y'\frac{y'}{\sqrt{2gy[1+(y')^2]}}=c_0\\
\frac{1+(y')^2-(y')^2}{\sqrt{y[1+(y')^2]}}=\sqrt{2g}\cdot c_0\\
\frac{1}{y[1+(y')^2]}=2gc_0^2\\
\]
令\(\displaystyle c_1=\frac{1}{2gc_0^2}\)\(\color{blue}{\text{(其中\(c_1\)、\(g\)均为负值)}}\)，分离变量得到：
\begin{align*}
\begin{split}

\frac{1}{y[1+(y')^2]}=\frac{1}{c_1}\\

y\left[1+\left(\frac{\rmd y}{\rmd x}\right)^2\right]=c_1&(\therefore c_1\leqslant y\leqslant0)\\

y\left(\frac{\rmd y}{\rmd x}\right)^2=c_1-y\\

\frac{y}{c_1-y}\left(\frac{\rmd y}{\rmd x}\right)^2=1\\

\end{split}\\
\\
\pm\sqrt{\frac{y}{c_1-y}}\rmd y=\rmd x\\
\end{align*}


再令\(\displaystyle y=c_1\sin^2\frac{\theta}{2}<0\)，代入微分方程得到：
\[\rmd x=\pm c_1\sin^2\frac{\theta}{2}\rmd{\theta}=\frac{\pm c_1}{2}\left(1-\cos\theta\right)\rmd{\theta}\]
两边同时积分，得到：
\[x=\frac{\pm c_1}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)+c_2\]
由于起点为原点，则\(c_2=0\)，又由于\(\left(\theta-\sin\theta\right)\)是关于参数\(\theta\)的奇函数，\(x\)的符号可以归结于参数\(\theta\)。
故曲线\(\varGamma\)参数方程为
\[\begin{cases}
\displaystyle
x=\frac{-c_1}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)\\
\displaystyle
y=c_1\sin^2\frac{\theta}{2}
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\displaystyle
x=\frac{\left|c_1\right|}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)\\
\displaystyle
y=\frac{-\left|c_1\right|}{2}\left(1-\cos\theta\right)
\end{cases}\]
\begin{cases}
\displaystyle
x=\frac{1}{4|g|c_0^2}\left(\theta-\sin\theta\right)\\
\displaystyle
y=-\frac{1}{4|g|c_0^2}\left(1-\cos\theta\right)
\end{cases}
\(\color{blue}{\text{其中\(g\)为负值}}\)
对于自由边界问题有自然边界条件：


\begin{align*}
&\text{引理\(1\) 若泛函\(\displaystyle J[\,y(\,\cdot\,)\,]=\int_{x_1}^{x_2}F\left

(x,y(x),y'(x)\right) \rmd{x}\)的容许曲线\(\varGamma\)：\(y=y(x)\)一端固定，}\\
&\text{另一端在直线\(x=x_2\)上自由移动，则极值曲线\(\varGamma_0\)：\(y=y_0(x)\)在移动端必满足\(\textbf{自然边界条件}\)：}\\
&\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\left.\frac{\partial F(x,y(x),y'(x))}{\partial y'}\right|_{x = x_2}=0
\end{align*}

因此，有
\begin{align*}
\left.\frac{\partial F(y(x),y'(x))}{\partial y'}\right|_{x =X_0}=\left.\frac{\partial}{\partial y'} \left[\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}\right]\right|_{x =X_0}=\frac{y'(X_0)}{\sqrt{2gy(X_0)[1+y'(X_0)^2]}}=0\\\,\\\,\\

\Rightarrow y'(X_0)=0\\\,\\

\left.y'(x)\right|_{x =X_0}=\left.\frac{\rmd y}{\rmd x}\right|_{x =X_0}=\left.\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right|_{\theta =\theta_0}=\left.\cot\frac{\theta}{2}\right|_{\theta =\theta_0}=\cot\frac{\theta_0}{2}=0\\\,\\\,\\

\Rightarrow \theta_0=\pi+2k\pi\\k\inZ\\
\end{align*}
可以看出曲线\(\varGamma\)具有周期性，之后的计算可以验证\(\pi+2k\pi\)时泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)取的都是极小值，而\(k=0\)时取得最小值，故\(\theta_0=\pi\)
\(\theta_0\)为右端点的参数值，所以代入曲线\(\varGamma\)方程的参数方程得：
\[ \left.x\right|_{x =X_0}=X_0=\left.\frac{1}{4|g|c_0^2}\left(\theta-\sin\theta\right)\right|_{\theta=\theta_0}=\frac{1}{4|g|c_0^2}\left(\pi-\sin\pi\right)=\frac{\pi}{4|g|c_0^2}\\\,\\
\Rightarrow c_0^2=\frac{\pi}{4|g|X_0}
\]
\(\color{blue}{\text{其中\(g\)为负值}}\)
极值曲线\(\varGamma_0\)参数方程为
\begin{cases}
\displaystyle
x=\frac{X_0}{\pi}\left(\theta-\sin\theta\right)\\
\displaystyle
y=-\frac{X_0}{\pi}\left(1-\cos\theta\right)
\end{cases}
令\(\displaystyle R=\frac{X_0}{\pi}\)

\(\displaystyle \rmd{s}=\sqrt{(\rmd{x})^2+(\rmd{y})^2}=\sqrt{(\frac{\rmd{x}}{\rmd\theta})^2+(\frac{\rmd{y}}{\rmd\theta})^2}\rmd\theta=\sqrt{R^2(1-\cos\theta)^2+R^2\sin^2\theta}\rmd\theta=R\sqrt{2(1-\cos\theta)}\rmd\theta\)
于是，求极值曲线\(\varGamma_0\)对应的泛函值：

\begin{gather*}
T[\,y_0(\,\cdot\,)\,]=\int_0^S\frac{\rmd{s}}{v}=\int_0^{\theta_0}

\frac{R\sqrt{2(1-\cos\theta)}\rmd\theta}{\sqrt{2gy}}=\int_0^{\theta_0}

\frac{R\sqrt{2(1-\cos\theta)}\rmd\theta}{\sqrt{2|g|R(1-\cos\theta)}}=\int_0^{\theta_0}

\sqrt{\frac{R}{|g|}}\rmd\theta=\sqrt{\frac{R}{|g|}}\theta_0\\\,\\

\Rightarrow T=\pi\sqrt{\frac{R}{|g|}}=\sqrt{\frac{\pi X_0}{|g|}}\\

\Rightarrow X_0=\frac{|g|T^2}{\pi}
\end{gather*}

故，当时\(k\)取零是正确的!
得到问题\(C\)时间\(T\)的最小值\(T_{min}=\displaystyle\sqrt{\frac{\pi X_0}{|g|}}\)
从而得到问题\(B\)水平位移\(x\)的最大值\(x_{max}=\displaystyle\frac{|g|T^2}{\pi}\)
于是乎，问题\(A\)也迎刃而解

\(\Large\color{red}{遗留问题}\)：
问题\(A\)有没有直接解析解法（即正面求解的解析解法，非数值的近似解）？
感觉问题\(A\)转化为问题\(B\)的解法，依赖了物理意义，就像求高中用几何意义求定积分一样，感觉是管中窥豹……

hbghlyj

现代数学基础《物理学中的数学方法》第9页

1.2.2 最简单情形的欧拉方程
1. 欧拉方程
定理 1 设$y(x)$是泛函式$J[y(x)]=\int_{x_{0}}^{x_{1}} F\left(x, y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x$的极值曲线,则在$y=y(x)$这个泛函的变分$$δJ=0$$
证明 由于这里要讨论的是极值曲线$y(x)$所应满足的必要条件,所以可选取特殊形式的函数$y^*$来比较$J[y]$和$J[y^*]$,例如,取$$y^{*}(x)=y(x)+\alpha \delta y(x)$$其中$α$是小参数(从而$y^*(x)$与$y(x)$就有指定的$ϵ$-接近度),$δy(x)$是任意固定的$C_2$类函数.由所设条件,$α$的函数$J[α]=J[y^*]=J[y+aδy]$在$α=0$取极值,故根据式(1.2.10),必有$$\delta J=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} J[y+\alpha \delta y]\right|_{\alpha=0}=0$$即泛函$J[y]$在$y=y(x)$的变分$δJ=0$.证明完毕.

定理 2 设$y(x)$是泛函式(1.2.1)的极值曲线,则函数$y=y(x)$必满足微分方程$$F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F_{y^{\prime}}=0$$或$$F_{y^{\prime} y^{\prime}} y^{\prime \prime}+F_{y y^{\prime}} y^{\prime}+F_{x y^{\prime}}-F_{y}=0$$其中,$F_{yy'}$是$F$对$y$及$y'$的二阶偏导数.
证明 现在取更特殊形式的函数$$y^{*}=y+\alpha \delta y$$
来比较$J[y]$和$J[y^*]$,这里要求$y^*$与$y$在$x=x_0$和$x=x_1$两点处取相同的值,即
亦即$$y^{*}\left(x_{0}\right)=y\left(x_{0}\right), \quad y^{*}\left(x_{1}\right)=y\left(x_{1}\right)$$
利用前面所得到的变分$δJ$的表达式(1.2.4),并对积分的后一项进行分部积分,得$$\delta J=\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left(F_{y} \delta y+F_{y}^{\prime} \delta y^{\prime}\right) \mathrm{d} x=\left.F_{y}^{\prime} \delta y(x)\right|_{x_{0}} ^{x_{1}}+\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left(F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F_{y^{\prime}}\right) \delta y \mathrm{~d} x$$由式(1.2.24)知,第一项为零,因此$$\delta J=\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left(F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F_{y^{\prime}}\right) \delta y \mathrm{~d} x$$再由变分学基本引理知,极值曲线$y(x)$必满足微分方程$$F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F_{y^{\prime}}=0$$证明完毕.
二阶常微分方程(1.2.22)或方程(1.2.23)称为泛函(1.2.1)的极值问题的欧拉方程,它的通解中含有两个任意常数.通常讨论泛函的极值时,对容许函数在边界$x_0$和$x_1$处的值总要加上一些附加的要求.例如,要求两端点固定,即$$y\left(x_{0}\right)=y_{0}, \quad y\left(x_{1}\right)=y_{1}$$其中$x_0,y_0,x_1,y_1$都是常数,从边界条件(1.2.27)确定出欧拉方程的解中的常数后,就可求得泛函(1.2.1)的可能的极值曲线

2.两种特殊情况
下面就两种特殊的情况讨论欧拉方程.
第一种情况:设$F$不依赖于$y$,即$F=F(x,y')$,因$F_y=0$,故此时欧拉方程为
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F_{y^{\prime}}=0$$
从而得首次积分$$F_{y^{\prime}}\left(x, y^{\prime}\right)=C_{1}$$
这是一个不显含$y$的一阶微分方程,它可用解出$y$再积分的方法或适当选择参数的方法求解.
例1 求泛函$$J=\int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{x} \mathrm{~d} x$$满足边界条件$J=\int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{x} \mathrm{~d} x$的极值曲线.
解 因$F$不依赖于$y$,故其欧拉方程的首次积分为$$F_{y^{\prime}}=\frac{y^{\prime}}{x \sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C_{1}$$解出$y'$得$$y^{\prime}=\frac{C_{1} x}{\sqrt{1-C_{1}^{2} x^{2}}}$$再积分得$$x^{2}+\left(y-C_{2}\right)^{2}=1 / C_{1}^{2}, \quad C_{1} \neq 0$$这是中心在纵轴上的圆族,再由所给边界条件确定$C_1$和$C_2$,即可得极值曲线.

第二种情况:设$F$不依赖于$x$,即$F=F(y,y')$,因$F_{xy}=0$,故由式(1.2.23),欧拉方程为$$y^{\prime \prime} F_{y^{\prime} y^{\prime}}+y^{\prime} F_{y^{\prime} y}-F_{y}=0$$而由\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(F-y^{\prime} F_{y^{\prime}}\right) &=F_{y} y^{\prime}+F_{y^{\prime}} y^{\prime \prime}-y^{\prime \prime} F_{y^{\prime}}-y^{2} F_{y y^{\prime}}-y^{\prime} y^{\prime \prime} F_{y^{\prime} y^{\prime}} \\ &=-y^{\prime}\left(y^{\prime \prime} F_{y^{\prime} y^{\prime}}+y^{\prime} F_{y y^{\prime}}-F_{y}\right)=0 \end{aligned}可知方程(1.2.30)有首次积分$$F-y^{\prime} F_{y^{\prime}}=C_{1}$$再对此一阶微分方程积分,并由边界条件定出常数,就能求出可能的极值曲线.
例2 求泛函$$T[y(x)]=\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2 g y}} \mathrm{~d} x$$满足边界条件$y(0)=0,y(a)=b$的极值曲线.
解 因为$F=\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{2 g y}}$不依赖于$x$,故此时欧拉方程有首次积分$$F-y^{\prime} F_{y^{\prime}}=C$$即$$\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{2 g y}}-y^{\prime} \frac{1}{\sqrt{2 g y}} \frac{y^{\prime}}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$
化简上式, 并记 $C_{1}=1 / 2 g C^{2}$, 则得
$$
y\left(1+y^{\prime 2}\right)=C_{1}
$$
用参数法解此方程: 令
$$
y^{\prime}=\cot \frac{\theta}{2}
$$
于是方程化为
$$
\begin{aligned}
&y=\frac{C_{1}}{1+y^{\prime 2}}=C_{1} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{C_{1}}{2}(1-\cos \theta) \\
&\mathrm{d} x=\frac{\mathrm{d} y}{y^{\prime}}=\frac{C_{1} \sin (\theta / 2) \cos (\theta / 2) \mathrm{d} \theta}{\cot (\theta / 2)}=\frac{C_{1}}{2}(1-\cos \theta) \mathrm{d} \theta
\end{aligned}
$$
将后一等式积分, 得 $x=\frac{C_{1}}{2}(\theta-\sin \theta)$, 故所求积分曲线的参数方程为
$$
x=\frac{C_{1}}{2}(\theta-\sin \theta)+C_{2}, \quad y=\frac{C_{1}}{2}(1-\cos \theta)
$$
由边界条件 $y(0)=0$, 可得 $C_{2}=0$, 如此得到
$$
x=\frac{C_{1}}{2}(\theta-\sin \theta), \quad y=\frac{C_{1}}{2}(1-\cos \theta)
$$
此为一圆滚线族 (或称旋轮线), 滚圆的半径为 $C_{1} / 2$, 常数 $C_{1}$ 可由圆滚线通过点 $B$这个条件来确定.因此,所求的最速降线为通过A、B两点的圆滚线.
此外还有两种特例,就不在此处介绍了.

hbghlyj

回复 1# 青青子衿
问题A是2#的例2

青青子衿

回复  青青子衿
问题A是2#的例2
hbghlyj 发表于 2022-3-29 06:43

回复 3# hbghlyj

并不是，一楼的问题A本身是“带积分约束的单端点可变”的约束极值问题，其可以转化为“单端点可变”的泛函极值问题。
而二楼你给出的属于“两端点固定”的泛函极值问题。

所以你并没有讨论“自由边界问题的自然边界条件”

对比如下：

已知非线性积分\(\color{red}{约束}\)：
\begin{equation*}
\int_0^\color{blue}{x}\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}} \mathrm{d}\color{blue}{x}=T_0
\end{equation*}
\((1)\)求\(x_{max}\)；
\((2)\)当\(x=x_{max}\)时，\(F(x,y)=0\)，求\(F(x,y)\).

泛函\(\displaystyle T[\,y(\,\cdot\,)\,]\)是将定义在右端点可变动的动区间\((0,x)\)上可求长的曲线映射为正数\(\overline{\hspace{4cm}}\)从起点沿着曲线下降所需的时间
青青子衿 发表于 2016-12-11 14:15

例2 求泛函$$T[y(x)]=\int_{0}^{\color{blue}a} \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2 g y}} \mathrm{~d} x$$
满足边界条件$y(0)=0,y(a)=b$的极值曲线.
hbghlyj 发表于 2022-3-29 02:34