以$z_1,z_2,z_3$为顶点的三角形是正三角

isee

再来一问：能否用此定理证明拿破仑定理和莫雷定理？
莫雷定理(1904年):
三角形三个角的三等分线共有6条， ...
其妙 发表于 2017-4-9 21:52

    这么巧？Morley定理当然有复数证法，也有三角证法啦，这两种证明昨天上午正好粗看了一眼。

其妙

回复 21# isee
真的？能否贴上来学习学习，先谢啦！

青青子衿

回复  isee
真的？能否贴上来学习学习，先谢啦！
其妙 发表于 2017-4-10 22:58

人教社《数学空间》
pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj2014/sxkj15/
第2014第1期
Morley定理最早是英国数学家Morley 于1904年发现的，Morley曾对他的剑桥大学同学提到过这个定理，后来就称这个定理为“Morley定理”，
本期《数学空间》由何版主为大家介绍Morley定理……“朝花夕拾”，依旧芬芳。
何版主的文章写得很不错

kuing

回复 24# 青青子衿

咦？憋间居然还能上，图片也没丢！难得

huing

\[z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1z_2-z_1z_3-z_2z_3=0
\]左边可在复数范围内分解因式，即\[
(z_1+\omega z_2+\omega^2z_3)(z_1+\omega^2z_2+\omega z_3)=0
\]\[\to z_1+\omega z_2+\omega^2z_3=0\\or\
z_1+\omega^2z_2+\omega z_3=0
\]这里 \(\omega\) 为三次单位根。
上述两式任一个正是复平面上不同的三点处于一个正三角形顶点的充要条件。
因为在第一式中将 \(\omega^2\) 写作 \(-\omega-1\)，重新组合后可得\[
(z_1-z_3)=\omega(z_3-z_2)
\]或者由第二式得\[
\omega(z_1-z_3)=(z_3-z_2)
\]这正是两边夹角等于 $60\du$的复数表示。
由于等式的对称性，可知其它两边夹角都等于 $60\du$。

青青子衿

回复 25# kuing
复数几何意义的一点应用
朱时 《数学教学通讯》1982年 第2期 PDF 3页
（该文档可以免费下载）cqvip.com/QK/82508Z/198202/83888574495756504850484948.html
\begin{gather*}
\begin{vmatrix}
z_{\overset{\,}1}&z_{\overset{\,}2}&1\\
z_{\overset{\,}2}&z_{\overset{\,}3}&1\\
z_{\overset{\,}3}&z_{\overset{\,}1}&1\\
\end{vmatrix}=0\\
\\
{z_{\overset{\,}1}}^2+{z_{\overset{\,}2}}^2+{z_{\overset{\,}3}}^2-z_{\overset{\,}1}z_{\overset{\,}2}-z_{\overset{\,}1}z_{\overset{\,}3}-z_{\overset{\,}2}z_{\overset{\,}3}=0
\end{gather*}

hbghlyj

hbghlyj

3. 试求所有满足如下性质的正整数 $n \geqslant 4$ : 任意不同且非零的复数 $a 、 b 、 c$, 若 $(a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n=0$,则 $a 、 b 、 c$ 为等边三角形的顶点的复坐标.

题拍拍

hbghlyj

Introduction to the Geometry of Complex Numbers Author: Roland Deaux, Howard Eves
三个复数 $a$、$b$ 和 $c$ 是等边三角形的顶点当且仅当$$\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b & c & a\end{array}\right|=0$$