导函数与原函数的大小关系。

abababa

有一些函数是在定义区间上恒大于其导函数（取绝对值的情况下），例如$f(x)=2^x$，就有$\abs{f(x)}>\abs{f'(x)}$，下面记这种性质是性质$P$。还有一些是相反的，取绝对值的情况下导函数恒大于原函数，（只要把前例改个数字就能举例：$f(x)=5^x,\abs{f(x)}<\abs{f'(x)}$）。这种关系有没有更进一步的结论，对一般的函数，哪些有这种性质P，或者说从函数的另外一些性质就一定能推出函数有性质P（或没有）。

kuing

有两个零点的函数一定没有
有零点的多项式一定没有

kuing

$g(x)=e^{-x}f(x) \riff g'(x)=-e^{-x}(f(x)-f'(x))$，所以：
当 $e^{-x}f(x)$ 递减时，若 $f'(x)$ 恒非负，则有 $P$，若 $f(x)$ 恒非正，则有反向的 $P$；
当 $e^{-x}f(x)$ 递增时，若 $f(x)$ 恒非负，则有反向的 $P$，若 $f'(x)$ 恒非正，则有 $P$。

abababa

回复 2# kuing

这样看来，如果又要满足$\abs{f(x)}\ge\abs{f'(x)}$，又要有零点，这函数就只能是恒为零了。