偶然见到$\tan \frac {3\pi}{11}+4\sin \frac{2\pi}{11}=\sqrt{11}.$

hbghlyj

kuing 发表于 2021-5-23 15:23
今天又用了一回这个高斯和，证明：
\[\sin\frac{2\pi}{13}-\sin\frac{5\pi}{13}+\sin\frac{6\pi}{13}=\frac12\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}2}.\]

$\frac12\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}2}$的极小多项式为 $16 x^4 - 52 x^2 + 13$
SageMath:

1. R.<x> = PolynomialRing(QQ)
2. f = 16*x^4 - 52*x^2 + 13
3. f.galois_group()==CyclicPermutationGroup(4)

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Galois group是$C_4$

这帖枚举出很多“$\Bbb Q(\sqrt{a+b\sqrt{D}})$的Galois group是$C_4$”的例子，($a,b,D\inQ,\sqrt{D}\not\inQ$)
不知这种$\Bbb Q(\sqrt{a+b\sqrt{D}})$是不是无穷多的
它们似乎都能表示为有理度数三角