本论坛的 $\mathrm\LaTeX$ 公式的基本输入[2021-9-26更新]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-8-22 08:45
但在MathJax 中有区別：
$\text{Test ‚}$
$\text{Test ,}$
不知为什么……

low-9 quotation mark用的字体是Times，普通逗号 用的字体是MJXTEX (MathJax_Main-Regular)

可能是因为low-9 quotation mark不在MathJax字符表中，使用系统默认fallback……

hbghlyj

LaTeX内置的函数名
\projlim
\varprojlim
是什么意思？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-28 22:49
LaTeX内置的函数名
\projlim
是什么意思？

projective limit
我们从群和同态的逆系统（或投射系统）的定义开始。设 $ (I,\leq ) $ 是一个有向偏序集（并非所有作者都要求 I 是有向的）。设 $(A_i)_{i∈I}$ 是一族群，并且假设我们有一族同态 $ f_{ij}:A_{j}\to A_{i} $ 对于所有 $ i\leq j $（注意顺序），具有以下性质：

• $ f_{ii} $ 是 $ A_{i} $ 上的恒等映射，
• $ f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{对于所有 }}i\leq j\leq k. $
  

那么对偶 $ ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I}) $ 称为群和态射在 $ I $ 上的逆系统，并且态射 $ f_{ij} $ 称为系统的过渡态射。

我们将逆系统 $ ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I}) $ 的逆极限定义为 $ A_{i} $ 的直积的一个特定子群：
$$ A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ 对于所有 }}i\leq j{\text{ 在 }}I\right\}. $$
逆极限 $ A $ 配有自然投影 $\pi_i: A \to A_i$，它为每个 $ I $ 中的 $ i $ 选取直积的第 $ i $ 个分量。

hbghlyj

LaTeX内置的函数名
\injlim
\varinjlim
是什么意思？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-28 22:57
LaTeX内置的函数名
\injlim
\varinjlim
是什么意思？

Injective limit
设 $ \langle I,\leq \rangle $ 是一个有向集。设 $ \{A_{i}:i\in I\} $ 是一个由 $ I $ 索引的对象族，并且 $ f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j} $ 是对于所有 $ i\leq j $ 的同态，满足以下性质：

• $ f_{ii}\, $ 是 $ A_{i}\, $ 上的恒等映射，并且
• $ f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij} $ 对于所有 $ i\leq j\leq k $。
  

那么对偶 $ \langle A_{i},f_{ij}\rangle $ 称为 $ I $ 上的一个直接系统。

直接系统 $ \langle A_{i},f_{ij}\rangle $ 的直接极限记作 $ \varinjlim A_{i} $，定义如下。
它的底层集合是 $ A_{i} $ 的不交并集模某个等价关系 $ \sim \, $：
$$ \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim . $$
这里，如果 $ x_{i}\in A_{i} $ 和 $ x_{j}\in A_{j} $，则 $ x_{i}\sim \,x_{j} $ 当且仅当存在某个 $ k\in I $ 使得 $ i\leq k $ 且 $ j\leq k $ 并且 $ f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\, $。直观上，不交并集中的两个元素当且仅当它们在直接系统中“最终变得相等”时是等价的。一个等价的表述是，一个元素等价于它在直接系统映射下的所有像，即 $ x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i}) $ 只要 $ i\leq j $。

从这个定义中可以得到规范映射 $ \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i} $，将每个元素映射到它的等价类。 $ \varinjlim A_{i}\, $ 上的代数运算被定义为使这些映射成为同态。形式上，直接系统 $ \langle A_{i},f_{ij}\rangle $ 的直接极限由对象 $ \varinjlim A_{i} $ 及其规范同态 $ \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i} $ 组成。