习题集2019年第一题双直线与椭圆相交四点共圆

zhcosin

说明:从证明过程可以看出，两直线相交于椭圆内不是必要的，如果在椭圆外，把相交弦定理换成割线定理即可。

isee

用二交曲线系也不错

kuing

卧槽！楼主终于继续撸数学了

zhcosin

卧槽！楼主终于继续撸数学了
kuing 发表于 2019-1-24 17:23

心血来潮

其妙

用二交曲线系也不错
isee 发表于 2019-1-24 15:35

是的，基本上没什么计算量！

hbghlyj

zhcosin 发表于 2019-1-24 07:05
题目 4.1.（2019-01-24，魏刚）
一对斜率互为相反数的直线, 若它们相交于标准椭圆 (中心在坐标原点且长短轴与坐标轴平行) 内某点, 则这两条直线分别与椭圆相交所得四点共圆.
解答. 设椭圆的长轴长为 $2 a$, 短轴长为 $2 b$, 作坐标系伸缩变换 $L(\lambda, \mu)$, 即 $(x, y) \rightarrow(\lambda x, \mu y)$, 容易验证, 在这样的变换下,一条长度为 $l$ 的线段, 若其所在直线斜率为 $k$,那么在新坐标系下它的长度应为
\[
l^{\prime}=l \sqrt{\frac{\lambda^2+\mu^2 k^2}{1+k^2}}
\]
因此,如果两条线段处在斜率为相反数的两条直线上, 那么它们的伸长比例是相同的。
对于题目中的情况来说, 取 $\lambda=\frac{1}{a}, \mu=\frac{1}{b}$, 在这变换下, 两条直线仍然是两条直线（通过方程容易验证）, 而椭圆则成为单位圆, 这两条直线在圆内相交, 那么分割出来的四条线段满足相交弦定理, 然后我们把这个变换逆变换回去, 即 $L\left(\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{\mu}\right)$, 这四条线段的伸长比例相同, 因此逆变换回去之后四条线段仍然符合相交弦定理的乘积式, 根据相交弦定理的逆定理, 四点共圆, 证毕.
说明:从证明过程可以看出，两直线相交于椭圆内不是必要的，如果在椭圆外，把相交弦定理换成割线定理即可

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kuing 发表于 2017-12-16 07:30
标准方程圆锥曲线上的四点共圆等价于对边斜率互反（见《撸题集》P697 或 P839）。