一个高次无理分式的变上限积分

青青子衿

首先需要声明：\(\frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}\)与\(\frac{1}{\sqrt[4]{1+t^4}}\)都是有初等原函数的。
\begin{align*}  
{\large\int}\frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}\mathrm{d}t
=\frac{1}{2}\ln\bigg[t^2+t\sqrt[3]{1+t^3}+\sqrt[3]{\left(1+t^3\right)^2}\,\bigg]+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}t}{t+2\sqrt[3]{1+t^3}}\right)+C\\
{\large\int}\frac{1}{\sqrt[4]{1+t^4}}\mathrm{d}t
=\frac{1}{2}\ln\left(t+\sqrt[4]{1+t^4}\,\right)+\frac{1}{4}\ln\left(t^2+\sqrt{1+t^4}\,\right)+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt[4]{1+t^4}}\right)+C\\
\end{align*}

1. Desmos Code
2. \frac{1}{2}\ln\left(x^2+x\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[3]{\left(1+x^3\right)^2}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}x}{x+2\sqrt[3]{1+x^3}}\right)
3. \frac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt[4]{1+x^4}\right)+\frac{1}{4}\ln\left(x^2+\sqrt{1+x^4}\right)+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt[4]{1+x^4}}\right)

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我们可以验证，\(\int_0^x\frac{1}{\sqrt[4]{1+t^4}}\mathrm{d}t\)可以用几个连续函数来表示：
\begin{align*}
&\int_0^x\frac{1}{\sqrt[4]{1+t^4}}\mathrm{d}t\\
=\quad&\frac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt[4]{1+x^4}\right)+\frac{1}{4}\ln\left(x^2+\sqrt{1+x^4}\right)+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt[4]{1+x^4}}\right)
\end{align*}
那么，\(\int_0^x\frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}\mathrm{d}t\)怎么办呢？（还不知道如何用几个连续函数来表示）
\begin{align*}
&\int_0^x\frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}\mathrm{d}t\\
=\quad&
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}\ln\bigg[x^2+x\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[3]{\left(1+x^3\right)^2}\,\bigg]+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}x}{\color{red}{x+2\sqrt[3]{1+x^3}}}\right)-\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}
&&x\in\left(-\infty ,-\frac{2}{\sqrt[3]{9}}\right)\\
\dfrac{1}{2}\ln\bigg[x^2+x\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[3]{\left(1+x^3\right)^2}\,\bigg]+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}x}{\color{red}{x+2\sqrt[3]{1+x^3}}}\right)
&\quad&x\in\left(-\frac{2}{\sqrt[3]{9}},+\infty\right)
\end{cases}
\end{align*}
思考了一下，主要问题出在反正切函数的分母；以前遇到将其连续化的方法是把它拆分为两个反正切函数（因为不是等价变形，故用\(\,\rightsquigarrow\,\)符号）：
\[ \arctan\left(\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1-x\sqrt{1+x^2}}\right)\quad{\Large\rightsquigarrow}\quad\arctan\left(x\right)+\arctan\left(\sqrt{1+x^2}\right) \]
可是，这次该如何拆分呢？

\begin{align*}
\color{black}{\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}=\int_{1}^{\frac{40}{9}}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}}
\end{align*}

hbghlyj

青青子衿 发表于 2019-3-17 02:39
可是，这次该如何拆分呢？
\begin{align*}
\color{black}{\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}=\int_{1}^{\frac{40}{9}}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}}
\end{align*}

如何证明这个等式成立

hbghlyj

青青子衿 发表于 2019-3-17 02:39
可是，这次该如何拆分呢？
\begin{align*}
\color{black}{\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}=\int_{1}^{\frac{40}{9}}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t+t^{2}+t^{3}}}}
\end{align*}

沒有初等原函数