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Hadamard 不 等 式 的 推 广
沈忠民 荣用武
（数学系79级）
在线性代数中，我们遇到过很多关于行列式的不等式，其中为大家所熟知的有 Hadamard不等式。即
若令 $x_i=\left(x_{i1}, \cdots,x_{in}\right) \in \mathbf{C}^n$,则
\[
\left|\operatorname{det}\pmatrix{x_1\\\vdots\\x_n} \right| \leqslant \prod_{i=1}^n\left\|x_i\right\|,
\]
其中 $\left\|x_i\right\|=\sqrt{x_i \overline{x_i}'}=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left|x_{ij}\right|^2}$ 为向量 $x_i$ 的长度。
本文首先把一般方阵的行列式值表达成乘积形式，然后由这个等式对行列式值作了比较精确的估计，从而推广了 Hadamard 不等式。为了叙述方便，先引进一些记号。
定义 1. 设 $H$ 是 $n$ 维内积空间，$x_i, \cdots, x_m \in H$，记 $G\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\operatorname{det}\left(\left(x_i, x_j\right)\right)$; 又设 $S \subset H$ 为子空间，$x \in H$，记 $d(x, S)=\inf _{y \in S}\|x-y\|$。
利用线性代数知识，我们容易证得，当 $x_1, \cdots, x_m$ 线性无关时，$G\left(x_1, \cdots x_m\right) \neq 0$ 。
引理 1. 设 $H$ 是 $n$ 维内积空间，$x_1, \cdots, x_m$ 及 $x \in H$，$S$ 是 $x_1, \cdots, x_m$ 张成的线性子空间，若 $x_1, \cdots, x_m$ 线性无关，则
\[
d^2(x, S)=\frac{G\left(x_1, \cdots, x_m, x\right)}{G\left(x_1, \cdots, x_m\right)} .
\]
这是已知结果 [1]，证明从略。
定义 2. 设 $H$ 是 $n$ 维内积空间，$S$ 是它的子空间，$0 \neq x \in H$，定义 $\langle x, S\rangle$ 是滿足
\[
\sin \langle x, S\rangle=\frac{d(x, S)}{\|x\|}
\]
的在 $[0, \pi / 2]$ 中的角. 特别当 $S$ 是由 $y$ 生成的子空间时，简记 $\langle x, S\rangle=\langle x, y\rangle$.
在定义 2 中，当 $y \neq 0$ 时，由引理 1，
\[
\sin ^2\langle x, y\rangle=\frac{d^2(x, S)}{\|x\|^2}=\frac{G(x, y)}{G(y)\|x\|^2}=1-\frac{\left|(x, y)\right|^2}{\|x\|^2\|y\|^2}
\]
引理 2. 设 $T\subset S$ ，都是 $n$ 维内积空间 $H$ 的子空间，$\forall 0 \neq x\in H$，有 $\sin (x, S) \leqslant \sin (x, T)$ 。
证. $\because \quad d(x, S)=\inf _{y \in S}\|x-y\|
\leqslant \inf _{y \in T}\|x-y\|=d(x, T) .$
$\therefore \quad \sin (x, S)=\frac{d(x, S)}{\|x\|} \leqslant \frac{d(x, T)}{\|x\|}=\sin (x, T) .$
由引理 2，我们显然有： $\forall y \in S, y \neq 0$ ，则 $\sin \langle x, S\rangle \leqslant \sin \langle x, y\rangle$ 。
定理 1. 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵，行向量 $x_1, \cdots, x_n$ 线性无关，则
$$|\operatorname{det} A|=\left\|x_1\right\| \cdots\left\|x_n\right\| \sin \left\langle x_2, S_1\right\rangle \cdots \sin \left\langle x_n, S_{n-1}\right\rangle$$其中 $S_i$ 是由 $x_1, \cdots, x_i$ 生成的线性子空间.
证. $|\operatorname{det} A|^2=\operatorname{det} A \bar{A}^{\prime}=G\left(x_1, \cdots, x_n\right)=G\left(x_1\right) \frac{G\left(x_1, x_2\right)}{G\left(x_1\right)} \cdots \frac{G\left(x_1, \cdots, x_n\right)}{G\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right)}$
\[
\begin{aligned}
& =\left\|x_1\right\|^2 d^2\left(x_2, S_1\right) \cdots d^2\left(x_n, S_{n-1}\right) \\
& =\left\|x_1\right\|^2 \cdots\left\|x_n\right\|^2 \sin ^2\left\langle x_2, S_1\right\rangle\cdots\sin^2\left\langle x_n, S_{n-1}\right\rangle
\end{aligned}
\]定理 2. 设 $x_i=\left(x_{i 1}, \cdots, x_{i n}\right) \in \mathbf{C}^n$ ，线性无关，则
\[
\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)\right| \leqslant \prod_{j=1}^n\left\|x_j\right\| \prod_{j=2}^n \sin \left\langle x_j, x_{i_j}\right\rangle\left(i_j<j\right)
\]
证. $\because x_{i_j} \in S_{j-1}$
$\therefore$ 由引理 2，$\sin ^2\left\langle x_j, S_{j-1}\right\rangle \leqslant \sin ^2\left\langle x_j, x_{i_j}\right\rangle$ 代入定理 1 的等式中，即得定理 2.
不等式 $\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\right| \leqslant \prod_{j=1}^n\left\|x_j\right\| \prod_{j=2}^n \sin \left\langle x_1, x_j\right\rangle$是定理 2 的一种特殊情形，显然，对任意 $1 \leqslant i \leqslant n$
\[
\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)\right| \leqslant \prod_{j=1}^n\left\|x_j\right\| \prod_{j\neq i}^n \sin \left\langle x_i, x_j\right\rangle
\]
若进一步将 $i=1, \cdots, n$ 的 $n$ 个不等式乘起来，则有形式上更对称的不等式:
\[
\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)\right| \leqslant \prod_{i=1}^n\left\|x_i\right\|\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} \sin ^{\frac2n}\left\langle x_i, x_j\right\rangle
\]
总之，以上定理可以认为是 Hadamard 不等式的推广. 因为任意两个非零复向量 $x$, $y \in \mathbf{C}^n$，只要 $(x, y) \neq 0$，就有
\[
\sin ^2(x, y)=1-\frac{|(x, y)|^2}{\|x\|^2\|y\|^2}<1
\]
参 考 文 献
[1] 关肇直，泛函分析讲义，高等教育出版社，1959.
[2] 许以超，代数学引论，上海科技出版社. |
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hbghlyj
发表于 2024-11-26 03:18
